河南省郑州市第一中学2021届高三上学期期中考试数学（理）试题（PDF）

$$ 高三 理科数学答案 第 1 页 (共 6 页) 2020－2021 学年上期中考 21 届 高三 理科数学参考答案 第Ⅰ卷 （选择题，共 60 分） 一．选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C B B C C A D A D B 第Ⅱ卷 （非选择题，共 90 分） 二．填空题： 本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13． 25 2 14． 4 3  15．①④ 16.  1, 2 三．解答题： 本大题共 6 小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分 12 分) 解：（1）由正弦定理，得 3(sin cos sin ) sin sinB C A C B  ．……………2 分 由 sin sin( ) sin cos cos sinA B C B C B C    ， 得 3 cos sin sin sinB C C B  ． 由 0 πC  ，得 sin 0C  ． 所以 3 cos sinB B  ． 又 cos 0B  ， 所以 tan 3B   ． ……………………………………………4 分 又 0 πB  ，得 2π 3 B  ．……………………………………………………6 分 （2）由余弦定理及 2 3b  ，得 2 2 2 2 (2 3) 2 cos 3 a c ac     ，……………8 分 即 2 12 ( )a c ac   ． 将 4a c  代入，解得 4ac  ．……………………10 分 所以 1 sin 2 ABC S ac B△ 1 3 4 2 2    3 ．……………………………………12 分 高三 理科数学答案 第 2 页 (共 6 页) 18．(本小题满分 12 分) 解：（1）证明：由底面 ABCD 为矩形，得𝐴𝐵 ⊥ 𝐴𝐷， ∵平面𝑀𝐴𝐷 ⊥平面 ABCD，平面𝑀𝐴𝐷 ∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐷， 𝐴𝐵 ⊂平面 ABCD，∴ 𝐴𝐵 ⊥平面 MAD， ∵ 𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐶𝐷 ⊂平面 MCD，𝐴𝐵 ⊄平面 MCD， ∴ 𝐴𝐵//平面 MCD， ∵平面𝑀𝐴𝐵 ∩平面𝑀𝐶𝐷 = 𝑀𝑁，∴ 𝑀𝑁//𝐴𝐵， ∴ 𝑀𝑁 ⊥平面 MAD， ∵ 𝑀𝐷 ⊂平面 MAD，∴ 𝑀𝑁 ⊥ 𝑀𝐷．…………6 分 （2）解：如图，设 AD 的中点为 O，过 O 作𝑂𝐻//𝐴𝐵，交 BC 于 H，由题意知 OA，OH， OM 两两垂直， 以 O 为原点，分别以 OA，OH，OM 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则  2, 2, 0B ，  2, 0, 0D  ，  0, 0, 2 3M ，  0,1, 2 3N ， 设平面 MBD 的法向量  , ,n x y z ，则{ �⃗⃗� ⋅ 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −4𝑥 − 2𝑦 = 0 �⃗⃗� ⋅ 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −2𝑥 − 2𝑦 + 2√3𝑧 = 0 ， 取𝑥 = 3，得  3, 6, 3n   ， 设平面 NBD 的法向量  , ,m a b c ，则{�⃗⃗⃗� ⋅ 𝐵𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −4𝑎 − 2𝑏 = 0 �⃗⃗⃗� ⋅ 𝐷𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −2𝑎 + 𝑏 + 2√3𝑐 = 0 ， 取𝑎 = 1，得  1, 2, 0m   ， 15 15 cos , = = . 44 3 5 m n m n m n     由图可知二面角𝑀 − 𝐵𝐷 − 𝑁的平面角为锐角， 所以 二面角𝑀 − 𝐵𝐷 − 𝑁的余弦值为 15 4 ． ………………12 分 19．(本小题满分 12 分) 解：（1）椭圆的半焦距为𝑐.根据题意，得 2 2 2 2 2 3 2 1 3 1 4 c a a b a b c            ，解得 2 2 4, 1a b  ． 所以椭圆 C 的标准方程为 2 2 1 4 x y  ． ……………………4 分 高三 理科数学答案 第 3 页 (共 6 页) （2）由 l 不垂直于坐标轴知，直线 l 的斜率存在，且不为 0，设直线 l 的方程为  , 0y k x n