考点09 函数模型及其应用-备战2021年浙江新高考数学一轮复习考点帮

考点09 函数模型及其应用 【命题解读】 1． 理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律； 2． 结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义； 3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义. 【命题预测】 1.主要考查阅读语言文字的能力,实际问题与数学问题之间的转化能力,常见的初等函数,对勾函数,分段函数的性质等问题； 2.以现实问题为载体,函数与实际问题、数与形、函数性质与最值交汇考查. 【复习建议】 一、常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 (为常数，) 反比例函数模型 (为常数且) 二次函数模型 （均为常数，） 指数函数模型 （均为常数，，，） 对数函数模型 （为常数，） 幂函数模型 （为常数，） 二、几类函数模型的增长差异 函数 性质　　 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 先慢后快，指数爆炸 先快后慢，增长平缓 介于指数函数与对数函数之间,相对平稳 图象的变化 随x的增大，图象与轴接近平行 随x的增大，图象与轴接近平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个，当时，有 三、函数模型的应用 解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行： （1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； （2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； （3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论； （4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中. 用框图表示如下： 考向一 二次函数模型的应用 在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题. 典例1 生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），商品的售价是每件20元，为获取最大利润(利润收入成本)，该企业一个月应生产该商品数量为（ ） A．万件 B．万件 C．万件 D．万件 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题中条件，结合利润收入成本，列出利润的表达式，再由配方法即可得出结果. 【详解】 由题意可得，获得最大利润时的收入是万元，成本是，所以此时的利润为，当且仅当时，取最大值. 故选B 【点睛】 本题主要考查函数的应用，根据题意列出函数的表达式，进而可求出结果，属于基础题型. 典例2 如图，把长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆的半径为x，求此框架围成的面积y与x的解析式，并写出它的定义域. 【答案】. 【解析】 【分析】 根据题意，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，分别计算其面积，可得框架围成的面积y与x的解析式，根据实际意义，可写出它的定义域. 【详解】 由题意，得，的长为，所以， 所以，即， 由得，故函数的定义域为. 【点睛】 本题考查的重点是函数模型的构建，解题的关键是正确表示出上、下两部分的面积. 考向二 指数函数、对数函数模型的应用 （1）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.求解时可利用指数运算与对数运算的关系. （2）已知对数函数模型解题是常见题型，准确进行对数运算及指数与对数的互化即可. 典例1 当时，，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 在平面直角坐标系中作出三个函数在区间内的图象，根据图象得到大小关系. 【详解】 在平面直角坐标系中，作出，，在时的图象如下图所示： 由图象可知，当时， 故选 【点睛】 本题考查函数图象的应用，关键是能够准确得到在给定区间内函数的图象. 典例2 候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度（单位：）与其耗氧量之间的关系为（其中是实数）．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于，其耗氧量至少需要______个单位． 【答案】80 【解析】 【分析】 由初始值求得，然后再由求得的最小值． 【详解】 由题意，，即， 由，解得． 故答案为：80 【点睛】 本题考查函数的应用，已知函数模型，只要根据已知数据求出参数值，