专题20函数零点的个数问题-2021版跳出题海之高中数学必做黄金100题

跳出题海+黄金百题 第20题 函数零点的个数问题 一．题源探究·黄金母题 求函数的零点的个数． 【答案】1． 【解析】的定义域为． 由零点存在性定理知有零点．又在上是单调递增函数，只有一个零点． 【试题来源】人教版A版必修1第88页例1． 【母题评析】本题考查了零点存在性定理、函数零点个数的判断． 【思路方法】判断函数是否存在零点可用零点存在性定理或利用数形结合法．而要判断函数有几个零点，还需要借助函数的单调性． 二．考场精彩·真题回放 【2020年高考浙江】已知，函数，其中e=2.71828…是自然对数的底数． （Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点； （Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明： （ⅰ）； （ⅱ）． 【解析】（Ⅰ）因为，，所以在上存在零点． 因为，所以当时，，故函数在上单调递增， 所以函数以在上有唯一零点． （Ⅱ）（ⅰ）令，， 由（Ⅰ）知函数在上单调递增，故当时，， 所以函数在单调递增，故． 由得， 因为在单调递增，故． 令，， 令，，所以 故当时，，即，所以在单调递减， 因此当时，． 由得， 因为在单调递增，故． 综上，． （ⅱ）令，，所以当时，， 故函数在区间上单调递增，因此． 由可得， 由得． 【命题意图】本题主要考查考查了零点存在性定理、函数零点个数的判断．本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，也可以解答题的形式出现。考查基础知识的识记、理解与应用． 【学科素养】数学运算、直观想象 【难点中心】解答此类问题，关键在于灵活选择方法，如直接求解，或数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题，或借助于导数研究函数的单调性，得到函数的零点个数． 三．理论基础·解题原理 考点一 零点的定义： 一般地，对于函数，我们把方程的实数根称为函数的零点． 考点二 函数零点存在性定理： 设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得． （1）在上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提； （2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设连续） ① 若，则的零点不一定只有一个，可以有多个； ② 若，那么在不一定有零点； ③ 若在有零点，则不一定必须异号． 若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一． 考点三 函数的零点、方程的根、两图像交点之间的联系： 设函数为，则的零点即为满足方程的根，若，则方程可转变为，即方程的根在坐标系中为交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到． 由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化． 考点四 函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用 （1）函数的零点： 工具：零点存在性定理； 作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内； 缺点：方法单一，只能判定零点存在而无法判断个数，且能否得到结论与代入的特殊值有关． （2）方程的根： 工具：方程的等价变形； 作用：当所给函数不易于分析性质和图像时，可将函数转化为方程，从而利用等式的性质可对方程进行变形，构造出便于分析的函数； 缺点：能够直接求解的方程种类较少，很多转化后的方程无法用传统方法求出根，也无法判断根的个数． （3）两函数的交点： 工具：数形结合； 作用：前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特征，是数形结合的体现．通过图像可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者确定参数的取值范围； 缺点：数形结合能否解题，一方面受制于利用方程所构造的函数（故当方程含参时，通常进行参变分离，其目的在于若含的函数可作出图像，那么因为另外一个只含参数的图像为直线，所以便于观察），另一方面取决于作图的精确度，所以会涉及到一个构造函数的技巧，以及作图时速度与精度的平衡． 四．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小．若涉及的函数为分段函数，则难度加大． 考向1 由两函数图象的交点判断零点个数 若函数，则函数的零点个数是（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【解析】如图：函数与函数有2个交点，所以选D． 【温馨提醒】构造合适的函数，在同一坐标系内画两个函数的图象，由两图象的交点个数判断零点个数。 考向2 分段函数零点个数判断 已知函数 则函数的零点个数为 个． 【答案】． 【解析】的零点个数，即是方程的根的个数，也就是与的图象的交点个数，分别作出与