专题19函数与方程问题分析-2021版跳出题海之高中数学必做黄金100题

跳出题海+黄金百题 第19题 函数与方程问题分析 一．题源探究·黄金母题 已知，求证： （1）； （2）． 【证明】 （1）． （2）． 【试题来源】人教版A版必修1第82页复习参考题A组第7题． 【母题评析】本题考查了指数幂运算的性质． 【思路方法】逆用指数幂运算的性质解题． 二．考场精彩·真题回放 【2020年高考天津】已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根 即可， 令，即与的图象有个不同交点. 因为， 当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意； 当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意； 当时，如图3，当与相切时，联立方程得， 令得，解得（负值舍去），所以. 综上，的取值范围为. 故选：D． 【命题意图】本类题通常主要考查充分条件与必要条件的判定． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与命题（特别是含有逻辑联结词的复合命题）真假的判断、充分条件与必要条件的判断以及全称命题、特称命题等联系紧密． 【学科素养】数学运算 【难点中心】充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒ ”为真，则是的充分条件． 2．等价法：利用⇒ 与非⇒非， ⇒ 与非⇒非， ⇔ 与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． 3．集合法：若⊆ ，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的必要条件；若＝，则是的充要条件；若是的真子集，则是的充分不必要条件；若是的真子集，则是的必要不充分条件． 三．理论基础·解题原理 考点一 函数方程 含有未知函数的等式叫做函数方程，例如：都可称为函数方程．在高中阶段，涉及到函数方程有以下几个类型： （1）表示函数的某种性质：例如体现是偶函数；体现是周期为1的周期函数（可详见“函数对称性与周期性”一节）． （2）可利用解方程组的思想解出涉及的函数的解析式：例如：，可用代替得，即． （3）函数方程也是关于变量的恒等式，所以通过对变量赋特殊值得到某些数的函数值． 考点二 双变量函数方程的赋值方法： （1）对均赋特殊值，以得到某些点的函数值，其中有些函数值会对性质的推导起到关键作用，比如，在赋特殊值的过程中要注意所赋的值要符合函数定义域． （2）其中某一个变量不变，另一个赋特殊值，可得到单变量的恒等式，通常用于推断函数的性质 四．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，考查对基本初等函数及超越函数性质的理解，一般难度较大． 考向1 求抽象函数的解析式（值） 已知函数满足：，对任意实数都有，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】由所求出发可考虑判断是否具备周期性，令，可得，即，∴，两式相加可得，则可判定的周期为6，由可得：，即，由可得，则，从而，∴，且． 【温馨提醒】抽象函数求函数值注意赋值法的运用，另外注意函数周期性的判断，求函数的周期要灵活运用周期函数的定义。 考向2 抽象函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值等） 定义在的函数满足关系，当时，，若，则的大小关系为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】由比较函数值大小联想到考虑函数的单调性，先化简，由可得：，令解得：，即，所给方程左边已经作差，∴考虑，，则，因为，∴，从而，即，得到在单调递增，∴． 【温馨提醒】本题在证明单调性时，因为考虑了中自变量的取值，所以只需考虑的单调性，缩小的范围使得判断的范围较容易．但也可将在中任取，但是在判断的范围会比较复杂，可利用不等式的等价变形来证：假设，因为，且，由可得成立，从而． 考向3 解不等式 已知定义在上的奇函数在上递减，若对恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知可得 在 上是减函数，故原命题等价于，即 在 上恒成立，设，令，当 时 ，当 时 ，因此 ，故选C． 【温馨提醒】本题关键步骤有：1．利用奇函数的性质可得 在 上是减函数；2．将原命题等价转化为 在 上恒成立；3．利用导数工具求得，从而求得正解． 五．限时训练*提升素养 1.（202