点到直线距离公式的八种推导方法

点到直线距离公式的八种推导方法 注：由于特殊形式的直线方程求距离比较简单，因此中，直线的方程为，A，B均不为0。设斜率为，点P的坐标为(x0，y0)，点P到l的距离为d。 推导一（面积法）： 如上图所示，设R(xR,y0)，S(x0,ys)，由R，S在直线l上，得到： 所以 所以：， 于是：， 所以从三角形面积公式知：， 从而有：。 推导二（三角函数斜率法）： 如上图所示，直线的倾角为α，同推导一，， ， 又有及三角函数公式， 代入消去α，便有：。 推导三（求点法）： 如上图所示：因为，所以， 所以直线PQ方程为：， 联立， 求出Q点的坐标为Q， 所以： =。 推导四（造圆切线法）： 如上图所示，以点P为圆心，作圆与直线l相切，则此圆的方程为： ， 联立直线方程消去y得： 由相切的条件知：， 即： 解得：。 推导五（函数极值法）： 如上图所示，该问题可以转化为求直线l上一动点Q，使得PQ的距离最短，当然我们已经知道d是最短的，这样，问题就变为了一个二元函数的条件极值问题，函数为：，d就是函数，条件就是，求最小值，由于距离始终大于0，我们考虑根号里面的二元二次函数极值问题，我们采用拉格朗日乘数法。 令 所以， 解得：。 代入函数中，即得：。 推导六（对称求点法）： 如上图所示，设是关于直线l的对称点，于是有： 解得： 所以： 推导七（求高法）： 如上图所示，由直线方程可求得R、S的坐标，即，， 于是三角形ROS的面积为：， 所以：， 所以：。 推导八（相似三角形法）： 如图所示， 由直线分线段比公式（三横先生：定比分点公式及定理）可得：， 而， 所以。 1 $$