专题20 点直线平面之间的位置关系-2021年新高考数学考点模块专题复习

专题20 点直线平面之间的位置关系 【高考导航】 1. 利用平面的基本性质及线线、线面和面面位置关系的判定与性质定理对命题真假进行判断． 2．以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体考查线线、线面与面面平行和垂直关系. 【真题解析】 1．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A. [答案]　A 2．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　) A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n [解析]　对于A，m与l可能平行或异面，故A错；对于B、D，m与n可能平行、相交或异面，故B、D错；对于C，因为n⊥β，l⊂β，所以n⊥l，故C正确．故选C. [答案]　C 3．(2017·全国卷Ⅲ)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角； ②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角； ③直线AB与a所成角的最小值为45°； ④直线AB与a所成角的最大值为60°. 其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号) [解析]　过点C作直线a1∥a，b1∥b，则直线AC、a1、b1两两垂直．不妨分别以a1、b1、AC所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，取n1＝(1,0,0)为a1的方向向量，n2＝(0,1,0)为b1的方向向量，令A(0,0,1)．可设B(cosθ，sinθ，0)，则＝(cosθ，sinθ，－1)．当直线AB与a成60°角时，＝，∴＝，|sinθ|＝，∴|cos〈n2，〉|＝，即AB与b所成角也是60°. ∵|cos〈n1，〉|＝＝≤， ∴直线AB与a所成角的最小值为45°.综上，②和③是正确的，①和④是错误的．故填②③. [答案]　②③ 4．(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点． (1)证明：直线CE∥平面PAB； (2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M－AB－D的余弦值． [解]　(1)取PA的中点F，连接EF，BF.因为E是PD的中点，所以EF∥AD，EF＝AD. 由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD，又BC＝AD，所以EF綊BC，四边形BCEF是平行四边形，CE∥BF，又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，故CE∥平面PAB. (2)由已知得BA⊥AD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，)，＝(1,0，－)，＝(1,0,0)． 设M(x，y，z)(0<x<1)，则＝(x－1，y，z)，＝(x，y－1，z－)． 因为BM与底面ABCD所成的角为45°， 而n＝(0,0,1)是底面ABCD的法向量， 所以|cos〈，n〉|＝sin45°，＝， 即(x－1)2＋y2－z2＝0.① 又M在棱PC上，设＝λ，则 x＝λ，y＝1，z＝－λ.② 由①，②解得(舍去)， 或 所以M， 从而＝. 设m＝(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量， 则 即 所以可取m＝(0，－，2)． 于是cos〈m，n〉＝＝. 易知所求二面角为锐角． 因此二面角M－AB－D的余弦值为. 【典例解析】 考点一　空间线面位置关系的判断 1．直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b，⇒a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b，⇒a∥b. (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α，⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，⇒a∥b. 2．直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n，⇒l⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α，⇒a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α，⇒α⊥β. (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，⇒a⊥β. 【训练】1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给