专题19 数列的综合应用-2021年新高考数学考点模块专题复习

专题19 数列的综合应用 一、等差数列、等比数列的证明 证明数列是等差(比)数列的两种基本方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇒{an}是等差数列；＝q(q是非零常数)⇒{an}是等比数列； (2)等差(比)中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇒{an}是等差数列；a＝an·an＋2(n∈N*，an≠0)⇒{an}是等比数列． 【例1】　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2,2Sn＝(n＋1)2an－n2an＋1，数列{bn}满足b1＝1，bnbn＋1＝λ·2an. (1)求证：数列{an}是等差数列，并求数列{an}的通项公式； (2)是否存在正实数λ，使得{bn}是等比数列？并说明理由． [解]　 　巧造等差或等比判定方法 (1)判断一个数列是等差(等比)数列，还有通项公式法及前n项和公式法，但不作为证明方法； (2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，只需判断存在连续三项不成等差(等比)数列即可； (3)a＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}为等比数列的必要而不充分条件，也就是要注意判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0. 【训练】1．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝3an－1(n∈N*)． (1)若数列{bn}满足bn＝an－，求证：{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn. [解]　(1)证明：由已知得an＋1－＝3(n∈N*)，从而有bn＋1＝3bn，又b1＝a1－＝1，所以{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得bn＝3n－1，从而an＝3n－1＋， 所以Sn＝1＋＋3＋＋…＋3n－1＋＝1＋3＋…＋3n－1＋＝. 二、数列的通项与求和 1．求数列的通项公式的方法 (1)等差、等比数列的通项公式适合用基本量法；(2)已知an与Sn间关系式时适合用an＝求得；(3)依据递推关系变形为等差(等比)数列求得． 2．求数列的前n项和的方法 结合数列通项公式的特点，采用裂项相消、错位相减、分组求和等方法． 　[解]　(1)设第一行组成的等差数列的公差是d，各列依次组成的等比数列的公比是q(q>0)，则a2,3＝qa1,3＝q(1＋2d)⇒q(1＋2d)＝6，a3,2＝q2a1,2＝q2(1＋d)⇒q2(1＋d)＝8， 解得d＝1，q＝2，a1,2＝2⇒an,2＝2×2n－1＝2n. (2)bn＝，则Sn＝＋＋＋…＋， 则Sn＝＋＋＋…＋， 两式相减得Sn＝＋＋＋…＋－＝1－， 所以Sn＝2－. [探究追问]　若例2(2)中bn＝＋(－1)na1，n，如何求Sn? [解]　由例题可知bn＝＋(－1)nn， Sn＝＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]． 设Tn＝＋＋＋…＋， 则Tn＝＋＋＋…＋， 两式相减得Tn＝＋＋＋…＋－＝1－， 所以Tn＝2－. 又－1＋2－3＋…＋(－1)n·n＝ 故Sn＝ 　求数列的通项及前n项和的常用方法 (1)求数列通项公式的方法：基本量法、公式法、累加法、累乘法、构造法． (2)求数列前n项和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法． 【训练】2．在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，且2a1，a3,3a2成等差数列． (1)求等比数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn＝(n＋2)log2an，求数列的前n项和Tn. [解]　(1)设数列{an}的公比为q， ∵2a1，a3,3a2成等差数列，∴2a1＋3a2＝2a3， 即2a1＋3a1q＝2a1q2， 化简得2q2－3q－2＝0，解得q＝2或q＝－. ∵q>0，∴q＝2. ∵a1＝2，∴数列{an}的通项公式an＝a1qn－1＝2n，n∈N*. (2)∵bn＝(n＋2)log2an＝n(n＋2)， ∴＝＝， Tn＝＋＋…＋＋ ＝ ＝ ＝－. 　 [解]　(1)y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2)处的切线斜率为2n＋2， 从而切线方程为y－2＝(2n＋2)(x－1)． 令y＝0，解得切线与x轴交点的横坐标xn＝1－＝. (2)证明：由题设和(1)中的计算结果知 Tn＝xx…x＝22…2. 当n＝1时，T1＝. 当n≥2时，因为x＝2＝>＝＝， 所以Tn>2×××…×＝. 综上可得对任意的n∈N*，均有Tn≥. 对于数列与函数、方程相结合的问题，通常利用函数与方程的知识，结合图形，得出关于数列相邻项an与an＋1之间的关系．根据这个关系和所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论． 【训练】3．设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*)． (1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an