专题16 三角函数与解三角形综合-2021年新高考数学考点模块专题复习

专题16 三角函数与解三角形综合 一、三角变换与三角函数的性质 1．三角函数的恒等变形的通性通法是：从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有：切化弦、降幂、用三角公式转化出特殊角、异角化同角、异名化同名、高次化低次等． 2．研究三角函数的值域、最值、周期、单调性等性质，首先要将函数解析式化为标准形式，再结合图形求解． 【例1】已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋2cos2ωx(ω>0)，且f(x)的最小正周期为π. (1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间； (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，求当x∈时，函数g(x)的最大值． [解]　(1)由题意知f(x)＝sin2ωx＋1＋cos2ωx ＝2sin＋1， ∵T＝π，＝π，∴ω＝1， ∴f(x)＝2sin＋1， 令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得 ＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. ∴函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z. (2)∵g(x)＝2sin＋1 ＝2sin＋1， 当x∈时，－≤2x－≤， ∴当2x－＝，即x＝时，g(x)max＝2×1＋1＝3. 解答此类题目思路是“一化二求”，即通过恒等变换(降幂、辅助角公式应用)将其解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A>0，ω≠0)的形式，再研究其各种性质或求值． 【训练】1．已知函数f(x)＝4sin·cosωx在x＝处取得最值，其中ω∈(0,2)． (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若α为锐角，g(α)＝－，求cosα. [解]　(1)f(x)＝4sin·cosωx ＝2sinωx·cosωx－2cos2ωx ＝(sin2ωx－cos2ωx)－ ＝2sin－， ∵f(x)在x＝处取得最值，∴2ω·－＝kπ＋，k∈Z，∴ω＝2k＋，k∈Z，∵ω∈(0,2)， 即0<2k＋<2，∴－<k<， 又k∈Z，∴k＝0，则ω＝， ∴f(x)＝2sin－，∴T＝. (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位， 得到h(x)＝2sin－＝2sin－，再将h(x)图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到g(x)＝2sin－. 故g(α)＝2sin－＝－，sin＝， 因为α为锐角，所以－<α－<， 因此cos＝ ＝. 故cosα＝cos ＝cos·cos－sin·sin ＝×－×＝. 二、解三角形 1．利用正弦、余弦定理完成边与角的互化，结合三角公式达到求值的目的． 2．利用正弦、余弦定理进行有关的判断或证明． [解]　(1)∵2acosA＝ccosB＋bcosC， ∴2sinAcosA＝sinCcosB＋sinBcosC， 即2sinAcosA＝sin(B＋C)＝sinA. 又0<A<π，∴sinA≠0. ∴2cosA＝1，cosA＝. (2)由(1)知cosA＝，∴sinA＝. ∵＝2，∴a＝2sinA＝. 由a2＝b2＋c2－2bccosA，得bc＝b2＋c2－a2＝4－3＝1， ∴S△ABC＝bcsinA＝×1×＝. 解答此类题目思路是“先变后解”，一是优先判断所给的等式的特点，正确分析已知等式的边角关系，合理地判断边往角化，还是角往边化；二是利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等进行三角形中边角关系的互化． 【训练】2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ctanC＝(acosB＋bcosA)． (1)求角C； (2)若c＝2，求△ABC面积的最大值． [解]　(1)∵ctanC＝(acosB＋bcosA)， ∴sinCtanC＝(sinAcosB＋sinBcosA)， ∴sinCtanC＝sin(A＋B)＝sinC， ∵0<C<π，∴sinC≠0.∴tanC＝，∴C＝60°. (2)∵c＝2，C＝60°， 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得12＝a2＋b2－ab≥2ab－ab，∴ab≤12，∴S△ABC＝absinC≤3， 当且仅当a＝b＝2时，△ABC的面积取得最大值3. 三、平面向量与三角函数、解三角形 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题． 　[思维流程]　(1)→ (2) [解]　(1)m·n＝sinA·cosB＋sinB·cosA＝sin(A＋B)， 对于△AB