专题15 平面向量-2021年新高考数学考点模块专题复习

专题15 平面向量 【高考导航】 1．平面向量的基本定理及基本运算，即向量的有关概念，加、减法的几何意义，线性表示以及坐标运算等． 2．平面向量的数量积的基本运算及其应用，这也是历年高考命题的热点． 3．向量的工具性作用，在三角函数、不等式、解析几何解答题中用来描述题目的条件和结论. 【真题解析】 1．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(　　) A．－8 B．－6 C．6 D．8 [解析]　由题可得a＋b＝(4，m－2)，又(a＋b)⊥b，∴4×3－2×(m－2)＝0，∴m＝8.故选D. [答案]　D 2．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝(　　) A．－a2 B．－a2 C.a2 D.a2 [解析]　∵＝＋，且＝， ∴·＝(＋)· ＝·＋2 ＝||||cos60°＋||2 ＝a2＋a2＝a2.故选D. [答案]　D 3．已知向量与的夹角为60°，且||＝3，||＝2，若＝m＋n，且⊥，则实数的值为(　　) A. B. C．6 D．4 [解析]　由题意知·＝3×2×cos60°＝3.又∵＝m＋n，⊥，∴·＝(m＋n)·(－)＝n2＋(m－n)·－m2＝0，又∵||＝3，||＝2，·＝3，∴4n＋3(m－n)－9m＝n－6m＝0，∴＝.故选A. [答案]　A 4．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　) A．－ B. C. D. [解析]　解法一：∵＝－， ＝＋＝＋＝＋， ∴·＝(－) ＝×1×1×－＋－×1×1×＝－＋－＝，选B. 解法二：以BC为x轴，E为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，易知A，B，E(0,0)，C，D. 又＝2，设F(x，y)， ∴＝2(x，y)， ∴x＝，y＝－，∴F， ∴·＝·(1,0)＝＋0＝. [答案]　B 5．已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________． [解析]　∵(e1－e2)·(e1＋λe2)＝e＋λe1·e2－e1·e2－λe＝－λ，|e1－e2|＝＝＝2， |e1＋λe2|＝＝＝， ∴－λ＝2××cos60°＝，解得λ＝. [答案]　 【典例解析】 考点一　平面向量的概念及线性运算 1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化． 2．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量． 【训练】1．在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ [解析]　因为＝－2，所以＝2.又M是BC的中点，所以＝(＋)＝(＋＋)＝＝＋，故选B. [答案]　B 【训练】2．已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，则等于(　　) A．－ B. C．－2 D．2 [解析]　∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，则故＝－2. [答案]　C 【训练】3．已知P为△ABC所在平面内一点，D为AB的中点，若2＋＝(λ＋1)＋，且 △PBA与△PBC的面积相等，则实数λ的值为________． [解析]　∵D为AB的中点，∴2＝＋， 又∵2＋＝(λ＋1)＋. ∴＋＋＝(λ＋1)＋ ∴＝λ，又△PBA与△PBC的面积相等， ∴P为AC的中点，∴λ＝－1. [答案]　－1 【训练】4．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且＝＋λ(λ∈R)，则AD的长为________． [解析]　 因为B，D，C三点共线，所以＋λ＝1，解得λ＝，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则＝，＝，经计算得AN＝AM＝3，AD＝3. [答案]　3 　平面向量线性运算的2种技巧 (1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算． (2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b≠0时，a∥b⇔存在唯一实数λ，使得a＝λb)来判断． 考点二　平面向量的数量积 1．平面向量的数量积有两种运算形式 (1)数量积的定义：a·b＝|a||b|cosθ(其中θ为向量a，b的夹角)． (2)坐标运算：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)时，a·b＝x1x2＋y1y2. 2．投影 向量a在向量b方向上的投影为＝|a|cosθ(