专题14 三角恒等变换与解三角形-2021年新高考数学考点模块专题复习

专题14 三角恒等变换与解三角形 【高考导航】 1．利用各种三角函数进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点． 2．利用正、余弦定理进行边和角、面积的计算，三角形形状的判定以及有关范围的计算，常与三角恒等变换综合考查. 【真题解析】 1．(2016·全国卷Ⅱ)若cos＝，则sin2α＝(　　) A. B. C．－ D．－ [解析]　解法一：∵cos＝， ∴sin2α＝cos＝cos2 ＝2cos2－1＝2×2－1＝－.故选D. 解法二：∵cos＝(cosα＋sinα)＝，∴cosα＋sinα＝，∴1＋sin2α＝，∴sin2α＝－.故选D. [答案]　D 2．(2017·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是(　　) A．a＝2b B．b＝2a C．A＝2B D．B＝2A [解析]　解法一：因为sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，所以sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sin(A＋C)， 所以sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sinB， 即cosC(2sinB－sinA)＝0， 所以cosC＝0或2sinB＝sinA， 即C＝90°或2b＝a， 又△ABC为锐角三角形，所以0°<C<90°，故2b＝a.故选A. 解法二：由正弦定理和余弦定理得 b＝2a×＋c×， 所以2b2＝a2＋3b2－c2， 即(a2＋b2－c2)＝a2＋b2－c2， 即(a2＋b2－c2)＝0， 所以a2＋b2＝c2或2b＝a， 又△ABC为锐角三角形，所以a2＋b2>c2，故2b＝a，故选A. [答案]　A 3．(2017·浙江卷)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________. [解析]　由余弦定理得cos∠ABC＝＝， ∴cos∠CBD＝－，sin∠CBD＝， ∴S△BDC＝BD·BC·sin∠CBD＝×2×2×＝. 又cos∠ABC＝cos2∠BDC＝2cos2∠BDC－1＝， 0<∠BDC<， ∴cos∠BDC＝. [答案]　　 4．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为. (1)求sinBsinC； (2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长． [解]　(1)由题设得acsinB＝，即csinB＝. 由正弦定理得sinCsinB＝. 故sinBsinC＝. (2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－，即cos(B＋C)＝－. 所以B＋C＝，故A＝. 由题设得bcsinA＝，即bc＝8. 由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝. 故△ABC的周长为3＋. 【典例解析】 考点一　三角恒等变换 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ. (2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ. (3)tan(α±β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝2sinαcosα. (2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)tan2α＝. 3．辅助角公式 asinx＋bcosx＝sin(x＋φ). 【训练】1．已知sin＝，则cos的值是(　　) A. B. C．－ D．－ [解析]　∵sin＝，∴cos＝cos＝1－2sin2＝，∴cos＝cos＝cos＝－cos＝－. [答案]　D 【训练】2．已知m＝，若sin2(α＋γ)＝3sin2β，则m＝(　　) A. B. C. D．2 [解析]　设A＝α＋β＋γ，B＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A＋B,2β＝A－B，因为sin2(α＋γ)＝3sin2β，所以sin(A＋B)＝3sin(A－B)，即sinAcosB＋cosAsinB＝3(sinAcosB－cosAsinB)，即2cosA·sinB＝sinAcosB，所以tanA＝2tanB，所以m＝＝2，故选D. [答案]　D 3．若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是________． [解析]　因为α∈，故2α∈，又sin2α＝，故2α∈，α∈，∴cos2α＝－，β∈，故β－α∈，于是cos(β－α)＝－，∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－×－× ＝，且α＋β∈，故α＋β＝. [答案]　 (