专题13 三角函数的图象与性质-2021年新高考数学考点模块专题复习

专题13 三角函数的图象与性质 【高考导航】 1．三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定函数解析式问题． 2．三角函数的性质，通常是给出函数解析式，先进行三角变换，将其转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究其性质(如单调性、值域、对称性)，或知道某三角函数的图象或性质求其解析式，再研究其他性质. 【真题解析】 1．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点(　　) A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 [解析]　因为y＝sin＝sin，所以只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度即可，故选D. [答案]　D 2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　) A．f(x)的一个周期为－2π B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x＋π)的一个零点为x＝ D．f(x)在单调递减 [解析]　f(x)的最小正周期为2π，易知A正确；f＝cos＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确；∵f(x＋π)＝cos＝－cos，∴f＝－cos＝－cos＝0，故C正确；由于f＝cos＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D错误． [答案]　D 3．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cosx－的最大值是________． [解析]　∵f(x)＝sin2x＋cosx－ ＝－cos2x＋cosx＋ ＝－2＋1， 又∵0≤x≤，∴0≤cosx≤1. ∴当cosx＝时，f(x)有最大值，最大值为1. [答案]　1 4．(2017·浙江卷)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sinxcosx(x∈R)． (1)求f的值； (2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间． [解]　(1)由sin＝，cos＝－， f＝2－2－2××， 得f＝2. (2)由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinxcosx得 f(x)＝－cos2x－sin2x＝－2sin. 所以f(x)的最小正周期是π. 由正弦函数的性质得 ＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)． 【典例解析】 考点一　三角函数的概念、诱导公式及基本关系式 1．三角函数的定义 若角α的终边过点P(x，y)，则sinα＝，cosα＝，tanα＝(其中r＝)． 2．诱导公式 (1)sin(2kπ＋α)＝sinα(k∈Z)，cos(2kπ＋α)＝cosα(k∈Z)，tan(2kπ＋α)＝tanα(k∈Z)． (2)sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝＝tanα. (3)sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα. (4)sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα. (5)sin＝cosα，cos＝sinα， sin＝cosα，cos＝－sinα. 3．基本关系 sin2x＋cos2x＝1，tanx＝. 【训练】1．已知sin＝，则cos＝(　　) A．－ B. C. D．－ [解析]　cos＝cos ＝sin＝sin ＝－sin＝－sin＝－. [答案]　A 【训练】2．已知P(sin40°，－cos140°)为锐角α终边上的点，则α＝(　　) A．40° B．50° C．70° D．80° [解析]　∵P(sin40°，－cos140°)为角α终边上的点，因而tanα＝＝＝＝tan50°，又α为锐角，则α＝50°，故选B. [答案]　B 【训练】3．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0， tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sinα的值是(　　) A. B. C. D. [解析]　由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ－1＝0，可解得tanα＝3，又α为锐角，故sinα＝. [答案]　C 【训练】4．若θ∈，则 ＝________. [解析]　因为 ＝＝＝|sinθ－cosθ|， 又θ∈，所以原式＝sinθ－cosθ. [答案]　sinθ－cosθ 　利用诱导公式进行化简求值的3步 利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其三步骤记为：去负→脱周→化锐．特别注意函数名称和符号的确定． 【易错提醒】　“奇变偶不变，符号看象限”，把角看作“k·＋α，k∈Z”的形式． 考点二　三角函数