专题11 导数的简单应用-2021年新高考数学考点模块专题复习

专题11 导数的简单应用 【高考导航】 1．导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点． 2．利用函数的单调性和最值确定函数的解析式或参数的值，突出考查导数的工具性作用. 【真题解析】 1．函数f(x)＝x3－ax为R上增函数的一个充分不必要条件是(　　) A．a≤0 B．a<0 C．a≥0 D．a>0 [解析]　函数f(x)＝x3－ax为R上增函数的一个充分不必要条件是f ′(x)＝3x2－a>0在R上恒成立，所以a<(3x2)min.因为(3x2)min＝0，所以a<0.故选B. [答案]　B 2．(2017·全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　) A．－1 B．－2e－3 C．5e－3 D．1 [解析]　由题意可得f′(x)＝ex－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]． ∵x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点， ∴f ′(－2)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f ′(x)＝ex－1(x2＋x－2)＝ex－1(x－1)(x＋2)， ∴x∈(－∞，－2)，(1，＋∞)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增；x∈(－2,1)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减． ∴f(x)极小值＝f(1)＝－1.故选A. [答案]　A 3．由曲线y＝2－x2，直线y＝x及x轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________． [解析]　把阴影部分分成两部分(y轴左侧部分和右侧部分)求面积， [答案]　 4．已知函数f(x)＝excosx－x. (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值． [解]　(1)∵f(x)＝excosx－x， ∴f(0)＝1， ∴f ′(x)＝ex(cosx－sinx)－1， f ′(0)＝0， ∴y＝f(x)在(0，f(0))处切线过点(0,1)，k＝0， ∴切线方程为y＝1. (2)f ′(x)＝ex(cosx－sinx)－1， 设f ′(x)＝g(x)， ∴g′(x)＝－2sinx·ex≤0， ∴g(x)在上单调递减， ∴g(x)≤g(0)＝0，∴f′(x)≤0， ∴f(x)在上单调递减， ∴f(x)max＝f(0)＝1， f(x)min＝f＝－. 【典例解析】 考点一　导数的几何意义与定积分 1．导数公式 (1)(sinx)′＝cosx； (2)(cosx)′＝－sinx； (3)(ax)′＝axlna(a>0)； (4)(logax)′＝(a>0，且a≠1)． 2．导数的几何意义 函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f ′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f ′(x0)·(x－x0)． 3．微积分基本定理 一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)． 【训练】1．过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的切线方程为(　　) A．x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0 B．x－y－2＝0 C．x－y＋2＝0 D．x－y－2＝0或4x＋5y＋1＝0 [解析]　设切点坐标为(x0，y0)，y0＝x－2x0，则曲线在(x0，y0)处的切线斜率为y′＝3x－2，当x0＝1时斜率为1，切线方程为x－y－2＝0，当x0≠1时，过(1，－1)点的切线的斜率为＝x＋x0－1＝3x－2，解得x0＝－，其斜率为－，切线方程为5x＋4y－1＝0，所以A正确． [答案]　A 【训练】2．已知函数f(x)＝excosx－x.则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为___________． [解析]　因为f(x)＝excosx－x，所以f ′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，f ′(0)＝0. 又f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y＝1. [答案]　y＝1 【训练】3．计算：(－x)dx＝________. [解析]　由定积分的几何意义知dx是由y＝与直线x＝0，x＝1所围成的图形的面积，即是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆的面积的，故dx＝，(－x)dx＝－x2＝－， ∴－x)dx＝. [答案]　 【训练】4．曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝所围成的图形(如图中阴影部分所示)的面积为________． [解析]　令x2＝，得x＝或x＝－(舍去)，所以所 [答案]　 (1)求曲线y＝f(x)的切线方程的3种类型及方法 ①已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程： 求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程