专题10 不等式-2021年新高考数学考点模块专题复习

专题10 不等式 思想方法诠释 1．对于解不等式，主要涉及一元二次不等式、分式不等式、对数和指数不等式，并且以一元二次不等式为主． 2．对于线性规划知识的考查主要通过图示的方法获得最优解或已知最优解求参数，此类题型有时需要借助一个实际背景．其中以考查线性目标函数的最值为重点，常结合其代数式的几何意义(如斜率、截距、距离、面积等)来求解． 3．对于基本不等式重在考查对代数式的转化过程及适用条件、等号成立条件的检验，在求最值或不等式恒成立问题中常用基本不等式. 【真题解析】 1．若集合A＝，B＝{x|x2<2x}，则A∩B等于(　　) A．{x|0<x<1} B．{x|0≤x<1} C．{x|0<x≤1} D．{x|0≤x≤1} [解析]　集合A＝＝{x|0≤x<1}，B＝{x|x2<2x}＝{x|0<x<2}，所以A∩B＝{x|0<x<1}． [答案]　A 2．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　) A. B．2 C．2 D．4 [解析]　解法一：由已知得＋＝＝，且a>0，b>0，∴ab＝b＋2a≥2，当且仅当时等号成立，∴ab≥2. 解法二：由题设易知a>0，b>0，∴＝＋≥2 ，即ab≥2，当且仅当时，取等号，选C. [答案]　C 4．(2017·山东卷)若a>b>0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(　　) A．a＋<<log2(a＋b) B.<log2(a＋b)<a＋ C．a＋<log2(a＋b)< D．log2(a＋b)<a＋< [解析]　特值法：令a＝2，b＝，可排除A、C、D.故选B. [答案]　B 【典例解析】 考点一　不等式的解法 求解不等式的方法 (1)对于一元二次不等式，应先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解． (3)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解． 【训练】1．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝(　　) A. B. C. D. [解析]　∵x2－4x＋3<0⇔(x－1)(x－3)<0⇔1<x<3， ∴A＝{x|1<x<3}． ∵2x－3>0⇔x>，∴B＝， ∴A∩B＝＝.故选D. [答案]　D 【训练】2．函数f(x)＝ 则不等式f(x)>2的解集为(　　) A．(－2,4) B．(－4，－2)∪(－1,2) C．(1,2)∪(，＋∞) D．(，＋∞) [解析]　令2ex－1>2(x<2)，解得1<x<2；令log3(x2－1)>2(x≥2)，解得x>，故选C. [答案]　C 【训练】3．关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是(　　) A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C．(－1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞) [解析]　关于x的不等式ax－b<0即ax<b的解集是(1，＋∞)，∴a＝b<0， ∴不等式(ax＋b)(x－3)>0可化为 (x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3， ∴所求不等式的解集是(－1,3)．故选C. [答案]　C 【训练】4．已知函数f(x)＝设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，则a的取值范围是(　　) A．[－2,2] B．[－2，2] C．[－2,2] D．[－2，2] [解析]　作出f(x)的图象如图所示，当y＝的图象经过点(0,2)时，可知a＝±2.当y＝＋a的图象与y＝x＋的图象相切时，由＋a＝x＋，得x2－2ax＋4＝0，由Δ＝0，并结合图象可得a＝2.要使f(x)≥恒成立，当a≤0时，需满足－a≤2，即－2≤a≤0，当a>0时，需满足a≤2，所以－2≤a≤2. [答案]　A (1)求解一元二次不等式的3步：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集． (2)解一元二次不等式恒成立问题的3种方法：①图象法；②分离参数法；③更换主元法． 考点二　基本不等式的应用 1．基本不等式：≥ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．当且仅当a＝b时取等号． (2)