专题09 基本初等函数及函数的应用-2021年新高考数学考点模块专题复习

专题09 基本初等函数及函数的应用 【高考导航】 1．对基本初等函数的考查形式主要是选择题、填空题，也有可能以解答题中某一小问的形式出现，考查其图象与性质． 2．函数零点主要考查零点所在区间、零点个数的判断以及由函数零点的个数求解参数的取值范围． 3．函数的实际应用常以实际生活为背景，与最值、不等式、导数、解析几何等知识交汇命题. 【真题解析】 1．(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b [解析]　∵b＝4＝(22) ＝2， 又a＝2，∴a>b. ∵a＝2＝(22)＝4，c＝(25)＝(52)＝5，∴a<c，∴b<a<c. [答案]　A 2．设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若函数f(x)，g(x)的零点分别为a，b，则有(　　) A．g(a)<0<f(b) B．f(b)<0<g(a) C．0<g(a)<f(b) D．f(b)<g(a)<0 [解析]　易知函数f(x)，g(x)在定义域上都是单调递增函数，且f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2＋1>0，所以a，b存在且唯一，且a∈(0,1)，b∈(1,2)，从而f(1)<f(b)<f(2)，g(0)<g(a)<g(1)，于是f(b)>0，g(a)<0，即g(a)<0<f(b)． [答案]　A 3．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是(　　) (参考数据：lg3≈0.48) A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 [解析]　因为lg3≈0.48，所以3≈100.48， 所以＝≈＝＝＝1093.28≈1093.故选D. [答案]　D 4．若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m(　　) A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 [解析]　∵f(x)＝x2＋ax＋b＝2＋b－，对称轴为x＝－，下面分情况讨论： ①若1<－，即a<－2时，f(x)max＝f(0)＝b，f(x)min＝f(1)＝a＋b＋1，此时M－m＝b－(a＋b＋1)＝－a－1； ②若<－≤1，即－2≤a<－1时，f(x)max＝f(0)＝b, f(x)min＝f＝b－，此时M－m＝b－＝； ③若0<－≤，即－1≤a<0时， f(x)max＝f(1)＝a＋b＋1， f(x)min＝f＝b－， 此时M－m＝a＋b＋1－＝1＋a＋； ④若－≤0，即a≥0时， f(x)max＝f(1)＝a＋b＋1，f(x)min＝f(0)＝b，此时M－m＝a＋b＋1－b＝1＋a. 综上，M－m与a有关，但与b无关．故选B. [答案]　B 5．已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________． [解析]　f(x)＝当x>m时，f(x)＝x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，其顶点为(m,4m－m2)；当x≤m时，函数f(x)的图象与直线x＝m的交点为Q(m，m)．①当即0<m≤3时，函数f(x)的图象如图1所示，易得直线y＝b与函数f(x)的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；②当即m>3时，函数f(x)的图象如图2所示，则存在实数b满足4m－m2<b≤m，使得直线y＝b与函数f(x)的图象有三个不同的交点，符合题意．综上，m的取值范围为(3，＋∞)． [答案]　(3，＋∞) 【典例解析】 考点一　指数函数、对数函数及幂函数 1．指数与对数式的运算公式 (1)am·an＝am＋n， (2)(am)n＝amn， (3)(ab)m＝ambm.其中，a>0，b>0. (4)loga(MN)＝logaM＋logaN， (5)loga＝logaM－logaN， (6)logaMn＝nlogaM， (7)alogaN＝N， (8)logaN＝.其中，a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0. 2．指数函数对数函数的图象和性质 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数． 【训练】1．已知a>0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是图中的(　　) [解析]　解法一：因为y＝ax与y＝logax互为反函数，而y＝logax与y＝loga(－x)的图象关于y轴对称，根据图象特征可知选B. 解法二：首先，曲