专题08 函数图象与性质-2021年新高考数学考点模块专题复习

专题08 函数图象与性质 【高考导航】 1．对于函数性质的考查往往综合多个性质，一般借助的载体为二次函数、指数函数、对数函数或者由基本的初等函数复合而成，尤其在函数单调性、奇偶性和周期性等性质的综合问题上应重点加强训练． 2．对于函数图象的考查比较灵活，涉及知识点较多，且每年均有创新，试题的考查突出表现在三方面，一是在解决与性质相关的问题中使用函数图象，体现数形结合思想方法；二是给出一个较复杂函数的解析式求其对应的图象；三是根据所给的图象来判断函数的内在信息. 【真题解析】 1．(2017·山东卷)设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝(　　) A．(1,2) B．(1,2] C．(－2,1) D．[－2,1) [解析]　由4－x2≥0得－2≤x≤2，由1－x>0得x<1，故A∩B＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<1}＝{x|－2≤x<1}，故选D. [答案]　D 2．下列函数为奇函数的是(　　) A．y＝ B．y＝|sinx| C．y＝cosx D．y＝ex－e－x [解析]　A项中的函数为非奇非偶函数，B项和C项中的函数是偶函数，D项中的函数满足奇函数的定义，故选D. [答案]　D 3．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　) A．[－2,2] B．[－1,1] C．[0,4] D．[1,3] [解析]　∵f(x)为奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)＝1. 于是－1≤f(x－2)≤1等价于f(1)≤f(x－2)≤f(－1)． 又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D. [答案]　D 4．(2016·全国卷Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为(　　) [解析]　f(2)＝2×22－e2＝8－e2，因为0<8－e2<1，所以0<f(2)<1，排除选项A，B.当0≤x≤2时，y′＝4x－ex，在平面直角坐标系中分别作出当0≤x≤2时函数y1＝4x，y2＝ex的图象，如图所示． 可知，当0≤x≤x0时，ex>4x，y′<0，即y＝2x2－e|x|单调递减；当x0<x≤2时，4x>ex，y′>0，即y＝2x2－e|x|单调递增，故选D. [答案]　D 5．已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则f＋f(1)＝________. [解析]　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，f(x)＝－f(－x)，又f(x＋2)＝f(x)，所以f(－1)＝－f(1)＝f(1)，因此f(1)＝0.又f＝f＝－f＝－2，故f＋f(1)＝－2. [答案]　－2 【典例解析】 考点一　函数及其表示 1．函数的三要素 定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则． 2．分段函数 若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． 【训练】1．函数y＝的定义域为(　　) A．(－2,1) B．[－2,1] C．(0,1) D．(0,1] [解析]　由题意得解得0<x<1，故选C. [答案]　C 【训练】2．已知函数y＝f(x＋2)的定义域是[－2,5)，则y＝f(3x－1)的定义域为(　　) A．[－7,14) B．(－7,14] C. D. [解析]　因为函数y＝f(x＋2)的定义域是[－2,5)，所以－2≤x<5，所以0≤x＋2<7，所以函数f(x)的定义域为[0,7)，对于函数y＝f(3x－1)，0≤3x－1<7，解得≤x<，故y＝f(3x－1)的定义域是，故选D. [答案]　D 【训练】3．函数f(x)＝x＋的值域为________． [解析]　由题意得2x－1≥0，解得x≥， 又∵f(x)＝x＋在上为增函数， ∴当x＝时，f(x)取最小值，f(x)min＝f＝，且f(x)无最大值． ∴f(x)的值域为. [答案]　 4．已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是________． [解析]　当x≥1时，f(x)＝2x－1≥1， ∵函数f(x)＝的值域为R， ∴当x<1时，(1－2a)x＋3a必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则解得0≤a<. [答案]　 (1)函数定义域问题的3种类型 ①已知函数的解析式：定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建不等式(组)求解即可． ②抽象函数：根据f[g(x)]中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同求解． ③实际问题或几何问题：除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义