专题07 集合与常用逻辑用语-2021年新高考数学考点模块专题复习

专题07 集合与常用逻辑用语 【高考导航】 1．高考对集合的考查主要是集合的含义、集合之间的基本关系和集合的运算，并且以集合的运算为主．试题往往与不等式的解集、函数的定义域、方程的解集、平面上的点集等相互交汇，试题难度不大． 2．高考对常用逻辑用语的考查主要是命题、充要条件、逻辑联结词和量词，并且以充要条件的判断、命题真假的判断为主，对含有量词的命题的否定也是一个值得注意的考点. 【真题解析】 1．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，则A∩B中元素的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　A∩B＝{2,4}，所以元素个数为2，故选B. [答案]　B 2．(2017·北京卷)已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－2或x>2}，则∁UA＝(　　) A．(－2,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞) [解析]　∁UA＝{x|－2≤x≤2}＝[－2,2]． [答案]　C 3．(2017·天津卷)设θ∈R，则“<”是“sinθ<”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　∵<⇔－<θ－<⇔0<θ<， sinθ<⇔θ∈，k∈Z，，k∈Z， ∴“<”是“sinθ<”的充分而不必要条件． [答案]　A 4．下列选项中，说法正确的是(　　) A．若a>b>0，则lna<lnb B．向量a＝(1，m)，b＝(m,2m－1)(m∈R)垂直的充要条件是m＝1 C．命题“∀n∈N*,3n>(n＋2)·2n－1”的否定是“∀n∈N*,3n≥(n＋2)·2n－1” D．已知函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题 [解析]　∵函数y＝lnx(x>0)是增函数，∴若a>b>0，则lna>lnb，故A错误；若a⊥b，则m＋m(2m－1)＝0，解得m＝0，故B错误；命题“∀n∈N*,3n>(n＋2)·2n－1”的否定是“∃n∈N*,3n≤(n＋2)·2n－1”，故C错误；命题“若f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零”的逆命题“若f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，则f(a)·f(b)<0”是假命题，如函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,4]上的图象连续不断，且在区间(－2,4)内有两个零点，但f(－2)·f(4)>0，故D正确．故选D. [答案]　D 5．若“x>1”是“不等式2x>a－x成立”的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是________． [解析]　不等式2x>a－x⇔2x＋x>a⇔(2x＋x)min>a，又因为函数f(x)＝2x＋x为增函数，所以当x>1时，(2x＋x)min>3，所以a>3. [答案]　a>3 【典例解析】 考点一　集合的关系与运算 集合的运算性质及重要结论 (1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. (2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. (3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U. (4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A. 【训练】1．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则(　　) A．A∩B＝ B．A∩B＝∅ C．A∪B＝ D．A∪B＝R [解析]　由3－2x>0，得x<，所以B＝，故A∩B＝，A∪B＝{x|x<2}．故选A. [答案]　A 【训练】2．集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝，0≤x≤4}，则下列关系正确的是(　　) A．A⊆∁RB B．B⊆∁RA C．∁RA⊆∁RB D．A∪B＝R [解析]　依题意得B＝{y|0≤y≤2}，因此B⊆A，∁RA⊆∁RB，选C. [答案]　C 【训练】3．设集合U＝R，A＝{x|2x(x－2)<1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2} C．{x|0<x≤1} D．{x|x≤1} [解析]　易知A＝{x|2x(x－2)<1}＝{x|x(x－2)<0}＝{x|0<x<2}，B＝{x|y＝ln(1－x)}＝{x|1－x>0}＝{x|x<1}，则∁UB＝{x|x≥1}，阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2}． [答案]　B 【训练】4．集合A＝{x|x2－a≤0}，B＝{x|x<2}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，4] B．(－∞，4) C．[0,4] D．(0,4) [解析]　A∪B＝B即A⊆B 集合A就是不等式x2－a≤0，即x