专题06 填空题技法攻略-2021年新高考数学考点模块专题复习

专题06 填空题技法攻略 【题型概述】 填空题是一种只要求写出结论，不要求解答过程的客观性试题，有小巧灵活、覆盖面广、跨度大等特点，突出考查准确、严谨、灵活运用知识的能力．根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型： (1)定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等． (2)定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质，如填写给定二次曲线的焦点坐标、离心率等. 【技法指导】 方法一　直接法 直接法就是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题．直接法是求解填空题的基本方法． 【典例1】　(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________． [解析]　双曲线的右顶点为A(a,0)，一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，圆心A到此渐近线的距离d＝＝，因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin60°＝，即＝，所以e＝＝. [答案]　 直接法求解填空题的关键 利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键． 【训练】1．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝________. [解析]　a＋2b＝(－3,3＋2k)，3a－b＝(5,9－k)，由题意可得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6. [答案]　－6 方法二　特例法 当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程． 【典例2】　cos2α＋cos2(α＋120°)＋cos2(α＋240°)的值为________． [解析]　令α＝0，则原式＝cos20＋cos2120°＋cos2240°＝. [答案]　 特例法求解填空题的技巧 求值或比较大小等问题的求解均可利用特例法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解． 【训练】2．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则·＝________. [解析]　解法一：如图，可取过焦点的直线为x＝，求出交点A，B，所以·＝×＋1×(－1)＝－. 解法二：设点A(xA，yA)，点B(xB，yB)，由题意，知p＝1. 设AB的方程为y＝k，联立消去x得ky2－2y－k＝0∴yAyB＝－1，∴xAxB＝·＝.则·＝(xA，yA)·(xB，yB)＝xAxB＋yAyB＝－1＝－. [答案]　－ 方法三　图解法(数形结合法) 对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形． 【典例3】　(2017·贵阳模拟)若不等式|x－2a|≥x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是________． [解析]　作出y＝|x－2a|和y＝x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤. [答案]　 图解法求解填空题的要点 图解法可直观快捷得到问题的结论，充分应用了图形的直观性，数中思形，以形助数，应用时要准确把握各种数式和几何图形中变量之间的关系． 【训练】3．已知点P(x，y)的坐标x，y满足则x2＋y2－6x＋9的取值范围是________． [解析]　画出可行域如图，所求的x2＋y2－6x＋9＝(x－3)2＋y2是点Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线x－y－1＝0(x≥0)的距离d的平方， ∴d＝2＝()2＝2. 最大值为点Q到点A的距离的平方， ∴d＝16. ∴取值范围是[2,16]． [答案]　[2,16] 方法四　构造法 构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问