第20讲 反函数的概念（提高）-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册知识点提升训练（学生版+教师版）

高一秋季同步数学讲义 “反函数的概念（提高）” 知识定位 理解反函数的概念，会求反函数；掌握反函数的基本性质，可以解决相关综合问题。 知识梳理 一、定义：一般地，对于函数y=f（x），设其定义域为D，值域为A。如果对于A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足y=f（x），这样得到的x关于y的函数叫做y=f（x）的反函数。记为x=f-1（y）。在习惯上自变量常用x表示，函数常用y表示，所以改写为y=f-1（x） 注意：1.反函数实质上也是函数. 反函数是相对于原函数而言，换句话说，反函数不能脱离原函数而单独存在. 3.并不是所有的函数都有反函数.例如函数y＝x2没有反函数.只有原象唯一的函数，即对任意x1≠x2能推断出f(x1)≠f(x2)成立的函数f(x)才具有反函数(这里x1、x2是f(x)的定义域内的两个值). 二、函数存在反函数的判定 1、对于任意的x1、x2∈D，若x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）或者逆否命题:若f（x1）=f（x2），则x1=x2。 2、函数y=f（x）是单调函数（充分非必要条件）。 3、由y=f（x）解得的x=f（y）也是一个函数。 三、反函数的求法 1、由y=f（x）出发，用y表示x，解出x=f-1(y) 2、将x、y互换，得出y=f-1(x) 3、指出y=f-1(x)的定义域，即原函数的值域 四、互为反函数的两个函数的性质 1、函数y=f（x）的图像与它的反函数y=f-1(x)的图像关于y=x对称； 2、互为反函数的两个函数在各自的定义域内有相同的单调性； 3、如果两个函数的图像关于y=x对称，那么这两个函数互为反函数； 4、如果一个函数的图像关于y=x对称，那么它的反函数就是本身 5、p（a，b）关于y=x的对称点是p’（b，a） 6、f-1(a)=b f(b)=a 例题精讲 【题目1】函数 (x>-1)的反函数是(    ) B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知函数可得（y∈R），即，所以，x，y对调即得原函数的反函数为，故选D. 【知识点】反函数的概念（提高） 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【题目2】把函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数的反函数图像重合，则f(x)=（  ） 【答案】 【解析】将函数的图像向右平移一个单位长度变为，函数的反函数是，则有，设，则，所以，即函数. 【知识点】反函数的概念（提高） 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【题目3】某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长9.5%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y=f(x)的反函数的图象大致为（  ） 【答案】B 【解析】设原来森林蓄积量为a ∵某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长9.5%，∴一年后，森林蓄积量为a（1+9.5%） 两年后，森林蓄积量为a（1+9.5%）2，经过y年，森林蓄积量为a（1+9.5%）y， ∵要增长到原来的x倍，需经过y年，∴a（1+9.5%）y=ax ∴1.095y=x将x，y互换，可得反函数为y=1.095x， ∴函数为指数函数，且为增函数，故选B． 【知识点】反函数的概念（提高） 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【题目4】已知 是奇函数． （1）求a的值； （2）求f（x）的反函数 f-1（x），判断f-1（x）的奇偶性，并给予证明； （3）若函数y=F（x）是以2为周期的奇函数，当x∈（-1，0）时，F（x）=f-1（x），求x∈（2，3）时F（x）的表达式． 【答案】（1）a=-1（3） 【解析】 【知识点】反函数的概念（提高） 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 习题演练 【题目1】若 则 的值为（  ） A．±3 B．3 C．-2 D．-3 【答案】D 试题分析：因为互为反函数的两个函数，定义域与值域互相交换。所以令，则，即 =-3，故选D。 【知识点】反函数的概念（提高） 【适用场合】当堂练习 【难度系数】2 【题目2】已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），当x∈[4，6]时，f（x）=2x+1，则函数f（x）在区间[-2，0]上的反函数f-1（x）的值f-1（19）=（　　） A．3-2log23 B．-1-2log23 C．5+log23 D．log215 【答案】A 【解析】设f-1（19）=a∈[-2，0]，则f（a）=19， ∵a∈[-2，0]，∴-a∈[0，2]，∴（-a+4）∈[4，6]， 又已知f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（a）=f（-a）， ∵对任意x∈R，都有f（x）