3.3 基本不等式（知识讲解）-2020-2021学年高二数学基础知识专项讲练（人教A版必修5）

3.3 基本不等式（知识讲解） 一、基础知识 1、基本不等式原始形式：(1)若 ，则 ；(2)若 ，则 。 2、基本不等式一般形式(均值不等式)：若 ，则 。 3、基本不等式的三个重要变形：(1)若 ，则 ； (2)若 ，则 ； (3)若 ，则 。 4、利用均值不等式求最值的条件：“一正，二定，三相等”。 (1)一正：各项均为正数，若各项均为负数，则可以提负号； (2)二定：如果两个正数的积 是定值 ，则 有最小值 ， 如果两个正数的和 是定值 ，则 有最大值 ； (3)三相等：当且仅当 时取最值。 5、常用结论： (1) ：①若 ，则 (当且仅当 时取“ ”)； ②若 ，则 (当且仅当 时取“ ”)； (2) ( ， )：①若 ，则 (当且仅当 即 时取“ ”)； ②若 ，则 (当且仅当 即 时取“ ”)； (3) ( ， )：①若 ，则 (当且仅当 即 时取“ ”)； ②若 ，则 (当且仅当 即 时取“ ”)； (4)若 ，则 (当且仅当 时取“ ”)； (5)若 ，则 (当且仅当 时取“ ”)； (6)基本不等式链：若 ，则 (当且仅当 时取“ ”)。 注：算术平均数： ；几何平均数： ；调和平均数： ；平方平均数： 。 证明：(1) ； (2) ； (3) ； 综上， ，当且仅当 时“ ”成立。 二、知识应用 1、利用基本不等式证明不等式 例1-1．已知 、 、 且 ，求证： 。 例1-2．已知 ，求证： 。 2、巧用“ ”的代换求最值问题 例2-1．已知 ， ， ，求证： 。 例2-2．已知 ， ，且 ，则 的最小值为( )。 A、 B、 C、 D、 3、利用不等式求函数值域及最值 例3-1．已知 ，则 的值域为( )。 A、 B、 C、 D、 例3-2．已知 ，则 的值域为( )。 A、 B、 C、 D、 例3-3．已知 ，则 的值域为( )。 A、 B、 C、 D、 例3-4．已知 ，则函数 的最小值为( )。 A、 B、 C、 D、 例3-5．已知 ，则函数 的最大值为( )。 A、 B、 C、 D、 4、分离换元法求最值 例4-1．函数 ( )的值域为( )。 A、 B、 C、 D、 例4-2．已知函数 ( )，则 的值域为( )。 A、 B、 C、 D、 例4-3．函数 的最大值为( )。 A、 B、 C、 D、 5、基