专题04 转化与化归思想-2021年新高考数学考点模块专题复习

专题04 转化与化归思想 思想方法诠释 转化与化归思想：是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 【典例讲解】 要点一　特殊与一般的转化 [解析]　(1)因为非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，所以不妨设a＝(1,0)，b＝，则2a－b＝，所以a·(2a－b)＝，故cos〈a,2a－b〉＝＝＝. (2)令a＝b＝c，则△ABC为等边三角形， 且cosA＝cosC＝， 代入所求式子，得＝＝. [答案]　(1)D　(2) 化一般为特殊的应用要点 把一般问题特殊化，解答选择题、填空题常能起到事半功倍的效果，既准确又迅速．常用的特例有特殊值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等，要注意恰当利用所学知识、恰当选择特殊量． 【训练】1．已知点P是△ABC所在平面内的一点，边AB的中点为D，若＝＋，其中λ∈R，则点P一定在(　　) A．AB边所在的直线上 B．BC边所在的直线上 C．AC边所在的直线上 D．△ABC的内部 [解析]　取λ＝1，则2＝，因为边AB的中点为D，所以＋＝2，所以＋＝－，所以＝，所以A，C，P三点共线，因此点P一定在AC边所在的直线上，故选C. [答案]　C 【训练】2．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________. [解析]　不妨令数列{an}为常数列，则an＝5，故a2＋a8＝10. [答案]　10 要点二　函数、方程、不等式间的转化 [解析]　(1)由题易得f ′(x)＝3x2－12x＋4，因为a3，a2017是函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的两个不同的极值点，所以a3，a2017是方程3x2－12x＋4＝0的两个不等实数根，所以a3＋a2017＝4.又数列{an}为等差数列，所以a3＋a2017＝2a1010，即a1010＝2，从而loga1010＝log2＝－，故选B. (2)设|MA|＝a>0，因为|OM|＝2，|OA|＝2，由余弦定理知cos∠OMA＝＝＝×≥×2 ＝，当且仅当a＝2时等号成立，所以∠OMA≤，即∠OMA的最大值为. [答案]　(1)B　(2)C 函数、方程与不等式间的转化策略 函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简．本例(1)将函数的极值点转化为导函数的零点，再转化为方程的两个实根．(2)将∠OMA的最值转化为其三角函数值的最值，这样才能更好地进行运算．一般可将函数的零点与方程的根相互转化，将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围． 【训练】3．(2017·银川二模)若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x＋y＋m＝0的两侧，则m的取值范围为(　　) A．(－∞，－5)∪(10，＋∞) B．[－5,10) C．(－5,10) D．[－5,10] [解析]　因为点(1,3)和(－4，－2)在直线2x＋y＋m＝0的两侧，所以(5＋m)(－10＋m)<0，解得－5<m<10，故选C. [答案]　C 【训练】4．已知直线l过点A(2,3)且与x轴、y轴的正半轴分别交于M、N两点，则当|AM|·|AN|最小时，直线l的方程为________． [解析]　设∠AMO为θ，则θ∈， ∴|AM|＝，|AN|＝. ∴|AM|·|AN|＝＝≥12. 当且仅当sin2θ＝1，即θ＝时取“＝”号． 此时kl＝－1，∴l的方程为x＋y－5＝0. [答案]　x＋y－5＝0 要点三　正与反的转化 [解析]　(1)原命题的否定为“∀∈R,2x2＋(a－1)x＋>0”，且为真命题，则Δ＝(a－1)2－4×2×<0，解得－1<a<3. (2)若4x2－ax＋1＝0在(0,1)内没有实数根，则在x∈(0,1)内，a≠4x＋，而当x∈(0,1)时，4x＋∈[4，＋∞)，要使a≠4x＋，必有a<4，故满足题设的实数a的取值范围是[4，＋∞)． [答案]　(1)(－1,3)　(2)[4，＋∞) 正与反的转化要点 正与反的转化，体现“正难则反”的原则，先从正面求解，再取正面答案的补集即可．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单．因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中． 【训练】5．(2017·广东七校联考)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为(　　) A. B. C. D. [解析]