专题03 分类讨论思想-2021年新高考数学考点模块专题复习

专题03 分类讨论思想 思想方法诠释 分类讨论思想：是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想. 【典例讲解】 要点一　由概念、性质、运算引起的分类讨论 [解析]　(1)f(1)＝e1－1＝e0＝1，要使f(1)＋f(a)＝2，则需f(a)＝1. 当a≥0时，由f(a)＝ea－1＝1得a－1＝0，即a＝1； 当－1<a<0时，由f(a)＝sin(πa2)＝1得πa2＝2kπ＋(k∈Z)，∴a2＝2k＋(k∈Z)，由－1<a<0知k只能取0，此时a2＝，∵－1<a<0，∴a＝－. 综上，a＝1或－，故选B. (2)当n≥2时，＝3n，又＝3n＋1，两式相减，得＝2×3n，所以an＝6n.由于a1＝7不符合an＝6n，所以数列{an}的通项公式为an＝ [答案]　(1)B　(2)an＝ 解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题的步骤 第一步：确定需分类的目标与对象．即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标． 第二步：根据公式、定理确定分类标准．运用公式、定理对分类对象进行区分． 第三步：分类解决“分目标”问题．对分类出来的“分目标”分别进行处理． 第四步：汇总“分目标”．将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理． 【训练】1．若椭圆mx2＋ny2＝1的离心率为，则＝(　　) A. B. C.或 D.或 [解析]　若焦点在x轴上，则方程化为＋＝1，依题意得＝，所以＝；若焦点在y轴上，则方程化为＋＝1，同理可得＝.所以所求值为或. [答案]　D 【训练】2．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________． [解析]　当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2； 当B≠∅时，若B⊆A，如图． 则解得2<m≤4. 综上，m的取值范围为(－∞，4]． [答案]　(－∞，4] 要点二　由图形位置或形状引起的分类讨论 [解析]　(1)当椭圆焦点在x轴，即0<m<3时， 由≥tan，得≥tan60°， 解得0<m≤1； 当椭圆焦点在y轴，即m>3时， 由≥tan，得≥tan60°， 解得m≥9. 综上，m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)． (2)函数f(x)＝－2＋的图象的对称轴为x＝，应分<－1，－1≤≤1，>1，即a<－2，－2≤a≤2和a>2三种情形讨论． ①当a<－2时，由图(1)可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝－1－a＝－(a＋1)，由－(a＋1)＝4，得a＝ －5，满足题意． ②当－2≤a≤2时，由图(2)可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f＝，由＝4，得a＝±4(舍去)． ③当a>2时，由图(3)可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f(1)＝a－1，由a－1＝4，得a＝5，满足题意． 综上可知，a＝5或－5. [答案]　(1)A　(2)5或－5 几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论 (1)二次函数对称轴的变化； (2)函数问题中区间的变化； (3)函数图象形状的变化； (4)直线由斜率引起的位置变化； (5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化； (6)立体几何中点、线、面的位置变化等． 【训练】3．已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k＝(　　) A．－ B. C．0 D．－或0 [解析]　不等式组表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知，若要使不等式组表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y＝kx＋1与直线x＝0或y＝2x垂直时才满足． 结合图形可知斜率k的值为0或－，故选D. [答案]　D 4．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面积为，则a的值为________． [解析]　由三角形面积公式，得×3×1·sinA＝. 故sinA＝. 因为sin2A＋cos2A＝1， 所以cosA＝±＝± ＝±. ①当cosA＝时，由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋12－2×1×3×＝8. 所以a＝2. ②当cosA＝－时，由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋12－2×1×3×＝12，所以a＝2. 综上a＝2或2. [答案]　2或2 要点三　由参数变化引起的分类讨论 [解]　(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)． (ⅰ)若a≤0，则f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递减． (ⅱ)若a>0，则由f′(