专题01 函数与方程思想-2021年新高考数学考点模块专题复习

专题01 函数与方程思想 思想方法诠释 1．函数的思想：是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想． 2．方程的思想：是建立方程或方程组或者构造方程或方程组，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想. 【典例讲解】 要点一　函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用 [解析]　(1)当y＝a时，2(x＋1)＝a，所以x＝－1. 设方程x＋lnx＝a的根为t，则t＋lnt＝a，则|AB|＝＝＝.设g(t)＝－＋1(t>0)，则g′(t)＝－＝，令g′(t)＝0，得t＝1，当t∈(0,1)时，g′(t)<0；当t∈(1，＋∞)时，g′(t)>0，所以g(t)min＝g(1)＝，所以|AB|≥，所以|AB|的最小值为，故选D. (2)因为函数f(x)＝log3(9x＋t2)是定义域R上的增函数，且为“优美函数”，则f(x)＝x至少有两个不等实根，由log3(9x＋t2)＝x，得9x＋t2＝3x，所以(3x)2－3x＋t2＝0有两个不等实根．令λ＝3x(λ>0)，则λ2－λ＋t2＝0有两个不等正实根，所以解得－<t<，且t≠0，所以实数t的取值范围是∪. [答案]　(1)D　(2)C 函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用技巧 (1)求字母(式子)的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程(组)，然后由方程(组)求得． (2)求参数的取值范围一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域． (3)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数． 【训练】1．若正数a，b满足：＋＝1，则＋的最小值为(　　) A．2 B. C. D．1＋ [解析]　由a，b为正数，且＋＝1，得b＝>0，所以a－1>0，所以＋＝＋＝＋≥2 ＝2，当且仅当＝和＋＝1同时成立，即a＝b＝3时等号成立，所以＋的最小值为2，故选A. [答案]　A 【训练】2．(2017·豫南九校联考)若关于x的方程2－2－|x＋2|＝2＋a有实根，则实数a的取值范围是________． [解析]　令f(x)＝2－2－|x＋2|，要使方程f(x)＝2＋a有实根，只需2＋a是f(x)值域内的值，又可知f(x)的值域为[1,2)，∴1≤2＋a<2，解得－1≤a<0. [答案]　[－1,0) 要点二　函数与方程思想在数列中的应用 [思维流程]　(1)―→―→ (2)―→―→ [解析]　(1)∵an＋1－an＝2n，∴当n≥2时，an－an－1＝2(n－1)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(2n－2)＋(2n－4)＋…＋2＋33＝n2－n＋33(n≥2)． 又a1＝33＝1－1＋33，故a1满足上式， ∴an＝n2－n＋33(n∈N*)，∴＝n＋－1， 令f(x)＝x＋－1(x>0)，则f′(x)＝1－. 令f′(x)＝0，得x＝， 易知当x∈(0，)时，f ′(x)<0，当x∈(，＋∞)时，f ′(x)>0， ∴f(x)在区间(0，)上递减，在区间(，＋∞)上递增， 又5<<6，且f(5)＝5＋－1＝，f(6)＝6＋－1＝，f(5)>f(6)， ∴当n＝6时，有最小值. (2)构造函数f(x)＝x5＋2016x， 则f(x)是奇函数，且在R上递增， 依题意得， f(1－a1008)＝－f(1－a1009)， 又－f(1－a1009)＝f(a1009－1)， 则f(1－a1008)＝f(a1009－1)， 所以1－a1008＝a1009－1，即a1008＋a1009＝2， 所以S2016＝×2016＝×2016＝2016，排除B，D； 由f(1－a1008)>f(1－a1009)，得1－a1008>1－a1009，所以a1008<a1009，故选C. [答案]　(1)　(2)C 函数与方程思想在数列中的应用技巧 (1)数列的通项与前n项和是自变量为整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决． (2)解本例(2)的关键：一是会构造函数，即会通过观察已知等式的特点，构造函数，并判断所构造的函数的奇偶性与单调性；二是会利用函数的单调性，得出数列的单调性，从而比较大小；三是能灵活运用等差数列的性质． 【训练】3．设等差数列{an}的前n