2.4 等比数列（知识讲解）-2020-2021学年高二数学基础知识专项讲练（人教A版必修5）

2.4 等比数列（知识讲解） 一、基础知识 1、等比数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 表示( )，即： ( ， ， )。 (1)从第二项起与前一项之比为常数 ： 成等比数列 ( ， )。 (2)隐含：任一项 且 ；“ ”是数列 成等比数列的必要非充分条件。 (3) 时， 为常数列。 (4)由 ， 并不能立即断言 为等比数列，还要验证 。 2、等比数列的通项公式： ( )或 ( )； 3、既是等差又是等比数列的数列：非零常数列。 4、等比数列与指数函数的关系：等比数列 的通项公式 ( )，它的图像是分布在曲线 ( )上的一些孤立的点。 当 ， 时，等比数列 是递增数列； 当 ， 时，等比数列 是递增数列； 当 ， 时，等比数列 是递减数列； 当 ， 时，等比数列 是递减数列； 当 时，等比数列 是摆动数列； 当 时，等比数列 是常数列。 5、等比数列的判定与证明方法 (1)定义法：若 ( ， )或 ( ， ， )，则 是等比数列。 (2)等比中项法：若数列 中， 且 ( )，则 是等比数列。 (3)通项公式法：若数列通项公式可写成 ( ， ， )，则 是等比数列。 6、等比数列的性质 (1)等比中项：如果在 与 中间插入一个数 ，使 、 、 成等比数列，那么称这个数 为 与 的等比中项。即 ( 、 同号)。 如果在 与 中间插入一个数 ，使 、 、 成等比数列，则 ； 反之，若 ，则 ，即 、 、 成等比数列， ∴ 、 、 成等比数列 b( )。 (2)等比中项的性质：① ( )； ( )； ②若 ，则 。 注意：但通常由 推不出 ，因为有非零常数列的存在。 证明：由定义得： ， ， ， ， ， ，又 ，则 。 (3)数列 首项是 ，公比为 ，数列 首项为 ，公比为 ，则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，同理数列 是首项为 ，公比为 的等比数列。 (4)在公比为 的等比数列 中，数列 、 、 、 …仍是等比数列，公比为 。 二、知识应用 1、等比数列的基本概念 例1-1．已知 为等比数列， ， ，则 ( )。 A、 B、 C、 D、 例1-2．在等比数列 中， ， ，则 ( )。 A、 或 B、 C、 或 D、 例1-3．已知数列