2.4 等比数列-2020-2021学年高二数学同步课堂帮帮帮（人教A版必修5）

2.4 等比数列 一、等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于_____________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示． 定义也可叙述为：在数列中，若为常数且，则是等比数列． 二、等比中项 （1）前提：三个数a，G，b成等比数列． （2）结论： 叫做a，b的等比中项． （3）满足的关系式：G2＝ ． 三、等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则这个等比数列的通项公式是． 四、等比数列与指数函数 1．等比数列的图象 等比数列的通项公式还可以改写为，当且时，是指数函数，是指数型函数，因此数列的图象是函数的图象上一些孤立的点．例如，教材第50页【探究】（2），的图象如下图所示． 2．等比数列的单调性 已知等比数列的首项为，公比为，则 ①当或时，是______________数列； ②当或时，是______________数列； ③当时，为常数列； ④当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号． 一、同一常数 二、 ab 三、 四、递增 递减 帮—重点 等比数列的定义、通项公式、性质的理解与简单应用 帮—难点 灵活应用等比数列的定义及性质解决一些相关问题 帮—易错 对等比数列的定义理解不深刻、忽略等比数列问题中的隐含条件 1．等比数列的判定与证明 判断数列是否为等比数列的方法： （1）定义法：判断是否为常数； （2）等比中项法：判断是否成立； （3）通项公式法：若数列的通项公式形如，则数列是等比数列． （1）已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列． （2）已知数列的前n项和为Sn＝2－an，求证数列{an}是等比数列． 【答案】（1）不是等比数列；（2）是等比数列． 【解析】（1）an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)．当n≥2时＝＝2； 当n＝1时，＝＝. 故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列． （2）【证明】　∵Sn＝2－an， ∴Sn＋1＝2－an＋1， ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1， ∴an＋1＝an. 又∵S1＝2－a1， ∴a1＝1≠0. 又由an＋1