2.5 等比数列的前n项和（知识讲解）-2020-2021学年高二数学基础知识专项讲练（人教A版必修5）

2.5 等比数列的前n项和（知识讲解） 一、基础知识 1、等比数列的前 项和 公式： (1)当 时， ； (2)当 时， ①或 ②。 当已知 ， ， 时用公式①；当已知 ， ， 时用公式②。 推导方法一：设等比数列 、 、 、… ，它的前 项和是 ， 由 得 ， ∴ ；∴当 时， ，当 时， ； 推导方法二：由等比数列定义得 ，根据等比性质，有 ， 即 (结论同上)。 推导方法三： EMBED Equation.3 (结论同上)。 2、等比数列的前 项和 性质： (1)前 项和公式的函数特性： ①当 时 是 的正比例函数， ②当 时， ，记 ，即 ，是一个指数式与一个常数的和； (2)数列 、 、 、…仍是等比数列(此时 )。 (3)在等比数列中，若项数为 ( )， 与 分别为偶数项和与奇数项和，则 ； (4) 。 3、等比数列的前 项和 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用。在运用等比数列的前 项和公式时，必须注意对 与 分类讨论，防止因忽略 这一特殊情形导致解题失误。等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量 、 、 、 、 ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解。 二、知识应用 1、求等比数列的前 项和 例1-1．设数列 是等比数列，前 项和为 ，若 ，则公比 为( )。 A、 或 B、 或 C、 或 D、 或 例1-2．若数列 的前 项和 ，则 的通项公式是 。 例1-3．已知等比数列 是递增数列， 是数列 的前 项和，若 、 是方程 的两个根，则 。 例1-4．已知 是公差为 的等差数列，数列 满足 ， ， 。 (1)求 的通项公式； (2)求 的前 项和。 例1-5．已知数列 是各项均为正数的等比数列，若 ， 。 (1)设 ，求数列 的通项公式； (2)求数列 的前 项和 。 2、等比数列前 项和 的性质 例2-1．各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 ( )。 A、 B、 C、 D、 例2-2．设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 ( )。 A、 B、 C、 D、 例2-3．一个项数为偶数的等比数列 ，全部各项之和为偶数项之和的四倍，前 项之积为 ，则 ( )。 A、 B、 C、 D、 答案 例1-1．【答案