24.2 直角三角形的性质-2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优题典（华东师大版）

24.2直角三角形的性质 一．选择题（共5小题） 1．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．C为OA的中点，BC＝1，则点A的坐标为（　　） A．（，） B．（，1） C．（2，1） D．（2，） 【分析】作辅助线，构建直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OA的值，再根据勾股定理可得OD值，进而可得点A的坐标． 【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于D， ∵Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°． ∴∠AOD＝30°， ∴AD＝OA， ∵C为OA的中点， ∴AD＝AC＝OC＝BC＝1， ∴OA＝2， ∴OD＝， 则点A的坐标为：（，1）． 故选：B． 【点评】本题考查了解直角三角形、坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识． 2．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝2，D为BC的中点，AE＝AB，则△EBD的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AD，作EF⊥BC于F，根据三线合一得到AD垂直于BC，AD为角平分线，以及底角的度数，在直角三角形ABD中，利用三角函数求得AB，然后利用30角所对的直角边等于斜边的一半得到AD的长，再利用三角形相似求出EF 的长，根据三角形面积公式求得结果． 【解答】解：连接AD，作EF⊥BC于F， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠B＝∠C＝30° 在Rt△ABD中，BD＝BC＝，∠B＝30°， ∴AB＝＝＝2， ∴AD＝＝1， ∵AE＝AB， ∴＝， ∵EF⊥BC，AD⊥BC， ∴EF∥AD， ∴△BEF∽△BAD， ∴＝， ∴ ∴EF＝， ∴S△BDE＝＝＝， 故选：B． 【点评】此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握这些性质是解本题的关键． 3．如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质以及直径是圆中最大的弦，即可求得MH的最大值是3． 【解答】解：∵CH⊥AB，垂足为H， ∴∠CHB＝90°， ∵点M是BC的中点． ∴MH＝BC， ∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3， ∴MH的最大值为3， 故选：A． 【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确BC的最大值为⊙O的直径的长是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，AB＝BC＝，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为（　　） A．6 B．9 C．6 D．3 【分析】连接BD交AC于O，根据已知条件得到BD垂直平分AC，求得BD⊥AC，AO＝CO，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根据等边三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA＝60°，求得AD＝CD＝AB＝3，于是得到结论． 【解答】解：连接BD交AC于O， ∵AD＝CD，AB＝BC， ∴BD垂直平分AC， ∴BD⊥AC，AO＝CO， ∵AB＝BC， ∴∠ACB＝∠BAC＝30°， ∵AC＝AD＝CD， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠DAC＝∠DCA＝60°， ∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝30°， ∵AB＝BC＝， ∴AD＝CD＝AB＝3， ∴四边形ABCD的面积＝2×＝3， 故选：D． 【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝52°，BE为AC边上的中线，AD平分∠BAC，交BC边于点D，过点B作BF⊥AD，垂足为F，则∠EBF的度数为（　　） A．19° B．33° C．34° D．43° 【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出BE＝AC＝AE，由等腰三角形的性质得出∠BAE＝∠ABE＝38°，由角平分线定义得出∠BAD＝19°，由三角形的外角性质得出∠BOF＝57°，由直角三角形的性质得出答案． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，BE为AC边上的中线， ∴∠BAC＝90°﹣∠C＝90°﹣52°＝38°，BE＝AC＝AE， ∴∠BAC＝∠ABE＝38°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠BAC＝19°， ∴∠BOF＝∠BAD+∠ABE＝19°+38°＝57°， ∵BF⊥AD， ∴∠BFO＝90°， ∴∠EBF＝∠BFO﹣∠BOF＝90°﹣57°＝33°； 故选：B． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的