24.1 测量-2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优题典（华东师大版）

24.1测量 一．选择题（共5小题） 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（　　） A．∠ACD＝∠B B．CD2＝AD•BD C．AC•BC＝AB•CD D．BC2＝AD•AB 【分析】根据同角的余角相等判断A；根据射影定理判断B、D；根据三角形的面积公式判断C． 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠B+∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠B，A正确，不符合题意； ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴CD2＝AD•BD，B正确，不符合题意； 由三角形的面积公式得，•AC•BC＝AB•CD， ∴AC•BC＝AB•CD，C正确，不符合题意； ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴BC2＝BD•AB，D错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、射影定理、三角形的面积计算，掌握射影定理、三角形的面积公式是解题的关键． 2．如图，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若AD＝24，BD＝6，则CD的长是（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【分析】根据射影定理得到CD2＝AD•BD＝24×6，然后利用算术平方根的定义求解． 【解答】解：∵CD是斜边AB边上的高， ∴CD2＝AD•BD＝24×6＝144， ∴CD＝12． 故选：C． 【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 3．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列结论错误的是（　　） A．CD•AC＝AB•BC B．AC2＝AD•AB C．BC2＝BD•AB D．AC•BC＝AB•CD 【分析】根据三角形的面积公式判断A、D，根据射影定理判断B、C． 【解答】解：由三角形的面积公式可知，CD•AB＝AC•BC，A错误，符合题意，D正确，不符合题意； ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴AC2＝AD•AB，BC2＝BD•AB，B、C正确，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查的是射影定理、三角形的面积计算，掌握射影定理、三角形的面积公式是解题的关键． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值为（　　） A． B． C． D．3 【分析】根据射影定理得到：AC2＝AD•AB，把相关线段的长度代入即可求得线段AD的长度． 【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴AC2＝AD•AB， 又∵AC＝3，AB＝6， ∴32＝6AD，则AD＝． 故选：A． 【点评】本题考查了射影定理．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，BE平分∠ABC交CD于F，EH⊥CD于H，则下列结论：①CD2＝AD•BD；②AC2+BD2＝BC2+AD2；③；④若F为BE中点，则AD＝3BD，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①、根据△ACD∽CBD，得到＝，依此即可作出判断； ②、根据勾股定理即可作出判断； ③、作EM⊥AB，可证△BCE≌△BEM，从而得，依此即可作出判断； ④、若F为BE中点，则CF＝EF＝BF，可得∠BCD＝∠CBF＝∠DBF＝30°，再根据含30°的直角三角形的性质即可作出判断． 【解答】解：①、∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴△ACD∽CBD， ∴＝，即CD2＝AD•DB，故①正确； ②∵AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2＝CD2， ∴AC2+BD2＝BC2+AD2故②正确； ③作EM⊥AB，则BD+EH＝BM， ∵BE平分∠ABC，△BCE≌△BEM， ∴BC＝BM＝BD+EH， ∴，故③正确； ④若F为BE中点，则CF＝EF＝BF， ∴∠BCD＝∠CBF＝∠DBF＝30°，∠A＝30°， ∴AB＝2BC＝4BD， ∴AD＝3BD，故④正确． 故选：D． 【点评】本题考查了射影定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，含30°的直角三角形的性质． 二．填空题（共3小题） 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝，BD＝2，则AC＝　　． 【分析】先根据射影定理求出AD，得到AB的长，再根据射影定理计算，得到答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB， 由射影定理得，CD2＝AD•BD， ∴AD＝＝， ∴AB＝AD+BD＝， 由射影定理得，AC＝＝＝， 故答案为：． 【点评】本题考查的是射影定理，直角三角形中，斜边上的高