专题11 平面向量的数量积-备战2021年高考大一轮复习典型题精讲精析

专题11 平面向量的数量积 典型题 一、单选题 1．在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，若动点 满足 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 设 ，则 ∵ ， ∴ ∴ EMBED Equation.DSMT4 ∴ 为点 的轨迹方程 ∴点 的参数方程为 （ 为参数） 则由向量的坐标表达式有： 又∵ ∴ 故选：D 2．己知平行四边形 中， ， ，对角线 与 相交于点 ，点 是线段 上一点，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，以 的中点为坐标原点，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，建立如图所示的直角坐标系，则 ， 所以直线 的方程为 ， 设点 ， ，所以 ， 所以 ， 当 时， 取到最小值 . 故选：A. 3．已知向量 ， 是两个夹角为 的单位向量，且 ， ， ，若 ， ， 三点共线，则 （ ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【解析】由 ， ， 三点共线，得 ， 故 ，解得 则 . 故选：A. 4．设A，B，C是圆 上不同的三个点，O为圆心，且 ，存在实数λ，μ使得 ，实数λ，μ的关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵ ，两边平方得： ， ∵ ，∴ , 故选：A． 5．点 是 所在平面上一点，满足 ，则 的形状是（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】B 【解析】点 是 所在平面上一点，满足 ， 则 ，可得 ，即 ， 等式 两边平方并化简得 ， ， 因此， 是直角三角形. 故选：B. 6．已知单位向量 ， ， ， 满足： ， 向量 （ ），则 的最小值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，设单位向量 ， ， ∴向量 ； 又 ，设 、 的夹角为α， ∴ ， ∴ ； 可得 ， 夹角为 ， 且 ， 的终点C，D在单位圆上， 向量 ， 可得 的终点P在线段 上运动，（ ）， ， 则 ， 由O到 的距离为 ， 当 ，且 ， 为单位圆的切线， 可得最小值为 ，此时 ， 夹角为 ，符合题意， 故选：A. 7．在 中， ，点 为 的中点，过点 作 交 所在的直线于点 ，则向量 在向量 方向上的投影为（ ） A．2 B． C．1 D．3 【答案】A 【解析】因为点 为 的中点，所以 ， 又因为 ， 所以 ， 所以向量 在向量 方向上的投影为 . 故选：A. 8．将向量 绕原点O顺时针方向旋转75°得到 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设 ，则 由题意可知， 即 ① 即 ② ①②联立 解得 或 又 向量 绕原点O顺时针方向旋转75°得到 点 在第四象限，则 ，即 故选C 9．ΔABC中，A=90°，AB=3，AC=2，设P、Q满足 ， ， 若 ，则 （ ） A．-1 B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】以点 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴建系， 设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则 ， ， ， ，由 可得， ，解得 ． 故选：A． 10．锐角 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ．则 面积的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题 ，三角形 中， ， ， 结合正弦定理， ， ， 为锐角， 所以 ， ， ，即 ， 由射影定理： ， 作图： 在 中， 在 中， 当点 在线段 之间（不含端点）时，三角形 为锐角三角形， ， 所以面积取值范围 故选：D 11．如图，在四边形 中， ， ， ，则 的值为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得： ，解得： ， 且： EMBED Equation.DSMT4 . 由 可知 ， 故 . 故选C. 12．已知向量 满足 ，点 在线段 上，且 的最小值为 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】由于 ，说明 点在 的垂直平分线上， 当 是 的中点时， 取最小值，最小值为 ， 此时 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ， ∴ 与 的夹角为 ， 的最小值是4， 即 的最小值是2.故选D. 二、填空题 13．如图，已知正方形 的边长为2，点 是半圆 上一点（包括端点 ， ），则 的取值范围是________. 【答案】 【解析】以 为原点， 为 轴，建立直角坐标系， 正方形 的边长为 ，所以半圆 的半径为 ， 则 ， ， ， ， 所以 ， ， ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 故答案为： 14．已知点 ，点A在圆 上，点B在圆 上，若 ，则 的最大值是______. 【答案】 【解析】设 ， ， ， ， 的中点为 ，可得 ， ， 两边平方相加可得 E