专题10 平面向量的线性运算、基本定理及坐标表示-备战2021年高考大一轮复习典型题精讲精析

专题10 平面向量的线性运算、基本定理及坐标表示 典型题 一、单选题 1．给出下列命题：①在 中， ；②若A,B,C,D是不共线的四点，则 是四边形 为平行四边形的充要条件；③若 且 ，则 ；④若 ，且 .其中正确的命题有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】①根据向量求和的多边形法则可知， ，该命题正确； ②因为A,B,C,D是不共线的四点，由 可知， ，所以四边形 为平行四边形，若四边形 为平行四边形， ，由向量相等的定义可知， ， 故该命题正确； ③若 且 ，则 ，不一定有 ，该命题错误； ④若 ，向量 与 的模相等，但不一定共线，故该命题错误； 综上，正确的命题有2个． 故选：C． 2．已知由向量构成的集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 ，得 ，解得 ， 故 ，故选A. 3．如图，已知 中， 为 的中点， ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 ， .故 . 故选：C. 4． 是 内的一点， ，则 的面积与 的面积之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设 边 的中点为 ，则 . ∵ ，∴ ，∴ .∴ . 故选:C. 5．在 中，已知 为 的重心，则 EMBED Equation.DSMT4 ( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 中， ， ， ， 由余弦定理可得 ， 因为 为 的重心， 所以 ， 则 EMBED Equation.DSMT4 故选: A. 6．如图，在四边形 中， ， ， ，E是 边上一点且 ，F是 的中点，则下列关系式不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因为 ，所以A正确； 对于B，因为 ，而 ，代入可得， ，所以B正确； 对于C，因为 ，而 ，所以 ，C不正确； 对于D，因为 ，而 ，代入得， ，所以D正确； 故选：C． 7．在 中，若 ，记 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图， 作 ， ，则 ，∴四边形 是平行四边形，∴ ， 设 的边 上的高为 ， 的边 上的高为 ， 则 ，∴ ，即 ， ∴ ，∴ ，∴ . 故选:C. 8．如图所示，矩形 的对角线相交于点 ， 为 的中点，若 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 为 的中点，且 为 的中点，所以， ， ， ， . 因此， ，故选：A. 9．如下图，四边形 是边长为1的正方形，点D在 的延长线上，且 ，点P为 内(含边界)的动点，设 ，则 的最大值等于( ) A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】以 为原点，边 和 所在的直线分别为 和 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则 ，如下图所示： 设 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， 令 则 ，其中 为直线 在 轴上的截距， 由图可知，当该直线经过点 时，其在 轴上的截距最大为 ， ∴ 的最大值为 ． 故选：D． 10．如图，圆 是边长为 的等边三角形 的内切圆，其与 边相切于点 ，点 为圆上任意一点， EMBED Equation.DSMT4 ，则 的最大值为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系， 设内切圆的半径为1，以（0，1）为圆心，1为半径的圆； 根据三角形面积公式得到 ， 可得到内切圆的半径为 可得到点的坐标为： EMBED Equation.DSMT4 故得到 故得到 ， 故最大值为：2. 故答案为C. 11．定义域为 的函数 的图象的两个端点为A，B， 是 图象上任意一点，其中 ，（ ），向量 ，若不等式 恒成立，则称函数 在 上“k阶线性近似”.若函数 在 上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ，可知点 的横坐标是 EMBED Equation.DSMT4 两点的横坐标相等，并且点 在线段 上， 由条件可知 ， ，则 ， 则直线 的方程是 ， 不等式 恒成立，则 ， 由以上可知 ， ，当且仅当 时等号成立， 的最大值是 ， 即 . 故选：C 12． 为 内一点内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 ，且 ，若 ，则边 所对的 外接圆的劣弧长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， ， 同理可得 ， ， ， 由正弦定理得 ，所以， ， ， 由于余弦函数 在区间 上单调递减，所以， ， 设 的外