专题9 解三角形-备战2021年高考大一轮复习典型题精讲精析

专题9 解三角形 典型题 一、单选题 1． 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则 的形状为（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ，所以三角形是等腰三角形， 故选：B. 2．若 的三个内角满足 ，则 （ ） A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【答案】C 【解析】由 ，可得出 ， 设 ，则 ， ，则角 为最大角， 由余弦定理得 ，则角 为钝角， 因此， 为钝角三角形，故选C. 3．已知 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ ，又 ∴ ． 故选:B． 4．在锐角三角形 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 和余弦定理得 ，又 ， . 因为三角形 为锐角三角形，则 ，即 ，解得 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ，即 ，所以， ， 则 ，因此， 的取值范围是 . 故选：A. 5． 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 ，若 的面积为 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ，所以， ， 即 ， ， ，则 ，得 ， ，解得 . 由三角形的面积公式得 ， ， 由余弦定理得 ， 即 ， ，因此， 的最小值为 . 故选：D. 6．在 中，角 的对边分别是 ，若 ，且三边 成等比数列，则 的值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】 ，由正弦定理边角互化的思想得 ， ， ， ，则 . 、 、 成等比数列，则 ，由余弦定理得 ， 化简得 ， ，则 是等边三角形， ，故选C． 7．已知抛物线 ： ，直线 抛物线 交于 ， 两点， ，令 ，若 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， .由余弦定理可得 ，当且仅当 时等号成立， 因为 故 的最大值为 . 故选：C 8．已知 三内角 的对边分别为 ，且 ，若角 平分线段 于 点，且 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 及正弦定理，得 ， 因 ， ，所以 ，即 ，又 ， 所以 . 如图， ， 所以 ， 所以 ，即 . ∴ ，当且仅当 ， ， 即 时，等号成立 所以 的最小值为9. 故选：B 9．为测出湖面上小船的速度（假设小船保持匀速），现采用如下方法:在岸边设置相距30米的两个观察点 ，当小船在 处时，测得 ， ，经过5秒后，小船直线航行到 处，测得 ， ，则该小船的航行速度是（ ） A． 米/秒 B． 米/秒 C． 米/秒 D． 米/秒 【答案】A 【解析】在 中，因为 ， ，所以 ，所以 . 则 . 在 中，因为 ， ，所以 ， 则 ，得 . 在 中，因为 ， ，所以 ， 则 ， 故该小船的航行速度是 米/秒. 故选：A. 10．在 中， 、 、 分别为内角 、 、 所对的边，且满足 ， ，若点 是 外一点， ， ， ，则平面四边形 面积的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ，由正弦定理得 ，即 ， 即 ，由正弦定理得 ， 又 ，所以， 为等边三角形， 则 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， 当 时，即当 时，四边形 的面积取最大值 . 故选：B. 11．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ， ， ， 为 边上的高，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， ， 由正弦定理得 ，化简得 ， 由余弦定理 ，且 ， ， 当且仅当 时，等号成立， ， . 因此， 的取值范围是 . 故选：B. 12．已知在 中，角 的对边分别是 ，点 在 内部，且满足 ，若 ，则 （ ） A．3 B．6 C．7 D． 【答案】D 【解析】 EMBED Equation.DSMT4 , , 即 , EMBED Equation.DSMT4 , ,由 .得 . 设 ,则 ， ， 在 中,利用余弦定理得: , 解得 ,则 , . 故选:D. 二、填空题 13．如图，研究性学习小组的同学为了估测古塔 的高度，在塔底 和 ， （与塔底 同一水平面）处进行测量，在点 ， 处测得塔顶 的仰角分别为 和 ，且 ， 两点相距 ， ，则古塔 的高度为______ ． 【答案】12 【解析】由题意知： 平面 设 ，则 ， 在 中，由余弦定理得： 即 ，解得 故答案为：12 14．在 中，已知角