专题8 三角恒等变换-备战2021年高考大一轮复习典型题精讲精析

专题8 三角恒等变换 典型题 一、单选题 1．要得到函数 的图象，可将 的图象向左平移（ ） A． 个单位 B． 个单位 C． 个单位 D． 个单位 【答案】A 【解析】 ， 因此，将 的图象向左平移 可得到函数 的图象. 故选：A. 2．锐角 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ，即 ，化简得 . 由正弦定理边角互化思想得 ， 即 ，所以， ， ， ， ， ， ， ， 是锐角三角形，且 ，所以 ， 解得 ，则 ，所以， ， 因此， 的取值范围是 ，故选D. 3．若 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意 ，故 故 又 ， 故 ， 则 故选：C 4．若 ,且 , ,则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】β＝α-(α﹣β)， ∵ ＜α ， ＜β ， β＜ ， ∴ α ， ∵sin（ ） 0， ∴ ＜0，则cos（ ） ， ∵sinα ， ∴cosα ， 则sinβ＝sin[α-(α﹣β)]＝sinαcos（α﹣β）-cosαsin（α﹣β） （ ） ， 故选B 5．在△ABC中，若 ，则（ ） A．C的最大值为 B．C的最大值为 C．C的最小值为 D．C的最小值为 【答案】A 【解析】由题可知， ， 所以 ， 由正弦定理知， ，所以 ， 由均值不等式可知， ， 由余弦定理知， ， 因为 ，所以 ，即 的最大值为 ． 故选：A． 6．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ，点 是 的重心，且 ，则 （ ） A． 或 B． C． 或 D． 【答案】C 【解析】 ， ， 整理得 ，解得 或 （舍去）. 或 . 又 点 是 的重心，则 ， 等式两边平方得 ， ， ， ，整理得 . ①当 时，则有 ，解得 ， 由余弦定理得 ，则 ； ②当 时，则有 ，解得 ， 由余弦定理得 ，则 . 因此， 或 . 故选：C. 7．在 中，角 、 、 对边分别为 、 、 ，若 ， ，且 ，则 的周长是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， ， ， ，则 ， ， ， ，由余弦定理得 ，即 ， ， ，因此， 的周长是 . 故选：D. 8．在 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ，若 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， ，即 ， 、 均为锐角且 EMBED Equation.DSMT4 ， 故选：B． 9．已知函数 在区间 上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，函数 ， 令 ，所以 ， 在区间上 恰有一个最大值点和最小值点， 则函数 恰有一个最大值点和一个最小值点在区间 ， 则 ，解答 ，即 ， 故选B． 10．有一块半径为2，圆心角为45°的扇形钢板，从这个扇形中切割下一个矩形（矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上），则这个内接矩形的面积最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图： 在 中，设 ， 则 ， 在 中， ，所以 ， ， 设矩形A BCD的面积为S， 则 ， 由于 ， 所以当 时， ， 故选：C 11．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， 成等差数列，且 ， ，则 的面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ， ， 成等差数列，所以 ，又 ，所以 ， 因为 ，所以 ，由正弦定理 ，可得 ，解得 ， 所以 的面积 . 故选：D. 12．函数 ，其中 ，若 的值域 ，则实数 的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 在区间 上的值域是 ，且 ， 当实数 取最小值时，函数 在区间 上单调递增且 ， 当 时， ，所以， ， ，解得 ，因此，实数 的最小值为 . 故选：D. 二、填空题 13．化简： ________ . 【答案】 【解析】 ， ， 所以，原式 ，故答案为 . 14．函数 的最大值为 ． 【答案】 15．设 的角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 的面积为 ，且 ，则 ______. 【答案】 【解析】因为 ，又 ， 所以 ，即 ， 由正弦定理可得， ， ， 所以 ， 即 ，因为 ， 所以 ， 又 ，所以 . 故答案为： 16．在三角形 中， ，且角 、 、 满足 ，三角形 的面积的最大值为 ，则 ______． 【答案】 【解析】 ，即 ， 因为 ， 即 ，解得 ， ，所以 ， 设 、 、 分别为角 、 、 的对边， 由余弦定理得 ，