第二章 代数与方程（2）（因式分解）-备战2021年中考数学考点帮（上海专用）

第2章 代数与方程（2） 知识梳理 1．平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即． 2．完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍，即：，． 3．平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式． 4．把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 5．一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式． 6．如果一个多项式各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式．这种分解因式的方法叫做提取公因式法． 7．提取的公因式应是各项系数的最大公因数（系数都是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积． 8．逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法，由平方差公式反过来可得．这个公式叫做因式分解的平方差公式．同理由乘法公式中的完全平方公式反过来可得，．这两个公式叫做因式分解的完全平方公式． 9．由多项式与多项式相乘的法则，可知．反过来可得．如果二次三项式中的常数项q能分解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好是a+b，那么就可以进行如下的因式分解，即． 10．利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法． 11．利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法． 【总结】注意理解因式分解的意义； 注意因式分解四种方法的灵活运用，特别是十字相乘法的基本步骤需要理解． 例题精讲 【题型一·因式分解的概念】 【例1】下列式子中，从左到右的变形为多项式因式分解的是（ ） ．； ．；　 ．；　 ．． 【参考答案】． 【题型二·因式分解】 【例1】分解因式： ． 【参考答案】 . 【例2】分解因式： ． 【参考答案】 ． 【例3】分解因式： ． 【参考答案】． 【例4】分解因式： ． 【参考答案】． 模拟题专练 1．（2018秋•浦东新区一模）下列关于的二次三项式中表示实数），在实数范围内一定能分解因式的是　　 A． B． C． D． 【分析】对每个选项，令其值为0，得到一元二次方程，计算判别式的值，即可判断实数范围内一定能分解因式的二次三项式． 【解答】解：选项，，△，方程没有实数根，即在数范围内不能分解因式； 选项，，△的值有可能小于0，即在数范围内不一定能分解因式； 选项，，△的值有可能小于0，即在数范围内不一定能分解因式； 选项，，△，方程有两个不相等的实数根，即在数范围内一定能分解因式． 故选：． 2．（2018秋•静安区一模）下列各式从左到右的变形，是因式分解且分解结果正确的为　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用因式分解的意义分别分析得出答案． 【解答】解：、 ，故此选项错误； 、，无法运算完全平方公式分解因式，故此选项错误； 、，正确； 、，故此选项错误． 故选：． 3．（2018秋•闵行区一模）数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数的值有几个？　　 A．4 B．5 C．6 D．8 【分析】根据把16分解成两个因数的积，等于这两个因数的和，分别分析得出即可． 【解答】解：，，，，，， ，，，，，， 分别解得：，，5，，8.5（不合题意），（不合题意）； 整数的值有4个， 故选：． 4.（2020嘉定二模）分解因式：__________. 【考查内容】完全平方公式 【评析】简单 【解析】利用完全平方公式分解式子。= 【答案】 5.（2020宝山二模）分解因式：___． 【答案】 【分析】 根据完全平方公式，即可分解因式． 【详解】． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查因式分解，掌握完全平方公式分解因式，是解题的关键． 6．（2020金山二模）分解因式：a2﹣4＝　 　． 【分析】有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开． 解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）． 7．（2020静安二模）因式分解：x2﹣9＝　 　． 【分析】原式利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3）， 故答案为：（x+3）（x﹣3）． 8.（2020崇明二模）因式分解：______. 【答案】a(a+3)(a-3) 【分析】 先提取公因式a，再用平方差公式分解即可. 【详解】原式=a(a2-9)=a(a+3)(a-3). 故答案为a(a+3)(a-3). 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式