第二章 解三角形 综合测试题-【数理报】2020-2021学年高中数学必修5《必修模块复习系列·巩固提高一本通》(北师大版)

书书书 所以ａｎ ＝２ ４－ｎ（ｎ∈Ｎ＋）． 由题意知ｂ１ ＝８，ｂ２ ＝４，ｂ３ ＝２， 所以ｂ２－ｂ１ ＝－４，ｂ３－ｂ２ ＝－２， 所以数列｛ｂｎ＋１－ｂｎ｝的公差为 －２－（－４）＝２． 所以ｂｎ＋１－ｂｎ ＝－４＋（ｎ－１）×２＝２ｎ－６． 所以ｂｎ ＝ｂ１＋（ｂ２－ｂ１）＋（ｂ３－ｂ２）＋… ＋（ｂｎ－ｂｎ－１） ＝８＋（ｎ－１）（－４＋２ｎ－８） ２ ＝ｎ２－７ｎ＋１４（ｎ∈Ｎ＋）． （２）设ｆ（ｋ）＝ｂｋ－ａｋ＝ｋ ２－７ｋ＋１４－２４－ｋ，当ｋ≥４时， ｆ（ｋ） (＝ ｋ－ )７２ ２ ＋７ ４ －２４－ｋ，单调递增，且ｆ（４）＝１． 所以ｋ≥４时，ｆ（ｋ）≥１． 又ｆ（１）＝ｆ（２）＝ｆ（３）＝０， 所以不存在ｋ∈Ｎ＋，使得ｂｋ－ａｋ∈（０，１）． ２２．解：（１）由题可得ａｎ＋１ｂｎ＝ａｎｂｎ＋１＋３ｂｎｂｎ＋１，两边同除 以ｂｎｂｎ＋１，得 ａｎ＋１ ｂｎ＋１ ＝ ａｎ ｂｎ ＋３， 因为ｃｎ ＝ ａｎ ｂｎ ，所以ｃｎ＋１－ｃｎ ＝３，且ｃ１ ＝ ａ１ ｂ１ ＝１， 所以数列｛ｃｎ｝是首项为１，公差为３的等差数列． 所以ｃｎ ＝１＋３（ｎ－１）＝３ｎ－２，ｎ∈Ｎ＋． （２）设数列｛ｂｎ｝的公比为ｑ（ｑ＞０）， 因为ｂ２３ ＝４ｂ２·ｂ６，所以ｂ ２ １ｑ ４ ＝４ｂ２１·ｑ ６，解得ｑ＝ １ ２ ， 又ｂ１＝１，所以ｂｎ＝( )１２ ｎ－１ ，ｎ∈Ｎ＋，ａｎ＝ｃｎ·ｂｎ＝（３ｎ －２）×( )１２ ｎ－１ ， 所以Ｓｎ ＝ａ１ ＋ａ２ ＋ａ３ ＋… ＋ａｎ ＝１×( )１２ ０ ＋４× ( )１２ １ ＋７×( )１２ ２ ＋… ＋（３ｎ－２）×( )１２ ｎ－１ ， ① １ ２ Ｓｎ ＝１×( )１２ １ ＋４×( )１２ ２ ＋… ＋（３ｎ－５）× ( )１２ ｎ－１ ＋（３ｎ－２）×( )１２ ｎ ， ② ① －②得 １ ２ Ｓｎ ＝１＋３×( )１２ １ ＋３×( )１２ ２ ＋… ＋３ ×( )１２ ｎ－１ －（３ｎ－２）×( )１２ ｎ ＝１＋３ [× １２ ＋( )１２ ２ ＋ … ＋ ( )１２ ｎ－ ]１ － （３ｎ －２） × ( )１２ ｎ ＝ １ ＋３ × １ ２ １－( )１２ ｎ－ [ ] １ １－１ ２ －（３ｎ－２）×( )１２ ｎ ＝１＋３ [× １－ ( )１２ ｎ－ ]１ －（３ｎ－２）×( )１２ ｎ ＝４－（３ｎ＋４）×( )１２ ｎ ， 所以Ｓｎ ＝８－（６ｎ＋８）×( )１２ ｎ ． ５版　解三角形综合测试题 一、选择题 １～６　ＤＣＢＢＢＢ　　７～１２　ＢＣＣＢＢＢ 提示： １．根据ｂ２＋ｃ２＋槡３ｂｃ＝ａ ２，可得ｂ２＋ｃ２－ａ２＝－槡３ｂｃ．由 余弦定理可得ｂ２＋ｃ２－ａ２＝２ｂｃ·ｃｏｓＡ，所以ｃｏｓＡ＝－槡３ ２ ，故 三角形的内角Ａ＝１５０°． ２．由正弦定理得ｓｉｎＡｃｏｓＢ＝ｓｉｎＢｃｏｓＡ，所以ｓｉｎＡｃｏｓＢ －ｓｉｎＢｃｏｓＡ＝０，即ｓｉｎ（Ａ－Ｂ）＝０，所以Ａ＝Ｂ，所以△ＡＢＣ 是等腰三角形． ３．ＢＣ＝ＡＣ·ｓｉｎ∠ＢＡＣ ｓｉｎＢ ＝６０ｓｉｎ３０° ｓｉｎ４５° ＝ 槡３０２ｍ． ４．依题意有槡３＝ １ ２ ×２·ＢＤ·ｓｉｎπ ３ ，解得 ＢＤ＝２，故 △ＢＣＤ为等边三角形，所以ＤＡ＝ＤＣ＝２，∠ＡＤＣ＝１２０°，所以 ＡＣ＝ 槡２３． ５．由题可得ｓｉｎ２Ｂ＝ｓｉｎＡｓｉｎＣ，根据正弦定理，ｂ２＝ａｃ，又 因为ｃ＝２ａ，代入得 ｂ２ ＝２ａ２，所以 ｃｏｓＢ＝ａ ２＋ｃ２－ｂ２ ２ａｃ ＝ ａ２＋４ａ２－２ａ２ ２ａ×２ａ ＝ ３ ４ ． ６．设ＢＤ＝ｔ，由余弦定理可得ＢＣ２ ＝６２＋（槡３２） ２－２× ６×槡３２ｃｏｓ∠ＢＡＣ＝９０ＢＣ＝ 槡３ １０，ｃｏｓ∠ＡＢＣ＝ ６２＋ｔ２－ｔ２ ２×６×ｔ ＝６ ２＋（ 槡３ １０） ２－（槡３２） ２ ２×６× 槡３ １０ ｔ＝槡１０． ７．因为 ａ ｓｉｎＡ ＝ ｂ ｓｉｎＢ ，所以 １ ｓｉｎＡ ＝ ｂ ｓｉｎ２Ａ ， １ ｓｉｎＡ ＝ ｂ ２ｓｉｎＡｃｏｓＡ ，所以ｂ＝２ｃｏｓＡ．因为０＜Ａ＋Ｂ＜π，所以０＜３Ａ ＜π，所以０＜Ａ＜π ３ ， １ ２ ＜ｃｏｓＡ＜１，１＜２ｃｏｓＡ＜２，所以 １＜ｂ＜２． ８．由ｓｉｎＡ ｓｉｎＢ ＝ ａ ｃ 及正弦定理得 ａ ｂ ＝ ａ ｃ ，所以 ｂ＝ｃ，即 △ＡＢＣ为等腰三角形．又由（ｂ＋ｃ＋ａ）（ｂ＋ｃ－ａ）＝３ｂｃ，得ｂ２ ＋ｃ２－ａ２＝ｂｃ，所以由余弦定理得ｃｏｓＡ＝ｂ ２＋ｃ２－ａ２ ２ｂｃ ＝ １ ２ ， 即Ａ＝６０°．综上，△ＡＢＣ为等边三角形． ９．因为 ｃｏｓ∠ＡＤＣ＝ｃｏｓ∠ＣＢＡ＋π( )２ ＝－ｓｉｎ∠ＣＢＡ＝ －槡３ ３ ，且ＡＣ＝ 槡３２，ＡＤ＝槡３，在 △ＡＣＤ中，由余弦定理得 （槡３２） ２