1.1.2 集合的基本关系-2020-2021新教材高一数学必修第一册【创新设计】同步学考笔记（人教B版）

1.1.2　集合的基本关系 课标要求 素养要求 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表示集合间的基本关系，并能进行转换，重点提升数学抽象素养和直观想象素养. 新知探究 草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑.如果草原上的枣红马组成集合A，草原上的所有马组成集合B. 问题　(1)那么集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？ (2)集合A与集合B又存在什么关系？ 提示　(1)集合A中的元素都是B的元素. (2)A是B的子集. 1.子集与真子集　 A⊆B与AB、A＝B有什么关系 概念 定义[来源:学科网ZXXK] 符号表示 图形表示 子集 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集 AB (或BA) 2.子集、真子集的性质 (1)任意集合A都是它自身的子集，即A⊆A. (2)空集是任意一个集合A的子集，即⊆A. (3)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，那么A⊆C. (4)对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC. 3.维恩图　 维恩图是集合的图形语言，也是集合的一种表示法 (1)定义：如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图.(维恩图不能表示空集) (2)用维恩图表示非空集合的基本关系 ①A⊆B表示为： ②AB表示为： ③A＝B表示为： 拓展深化 [微判断] 1.1⊆{1，2，3}.(×) 提示　“⊆”表示集合与集合之间的关系，但不能表示元素和集合之间的关系. 2.任何集合都有子集和真子集.(×) 提示　空集只有子集，没有真子集. 3. 和{}表示的意义相同.(×) 提示　是不含任何元素的集合，而集合{}中含有一个元素. 4.若A⊆B，则AB或A＝B.(√) 5.若A⊆B，A≠B，则AB.(√) [微训练] 1.已知集合A＝{－2，3，6m－6}，若{6}⊆A，则m＝________. 解析　∵{6}⊆A，∴6m－6＝6， ∴m＝2. 答案　2 2.若A＝{1，a，0}，B＝{－1，b，1}，且A＝B，则a＝________，b＝________.[来源:Zxxk.Com] 解析　由两个集合相等可知b＝0，a＝－1. 答案　－1　0 3.若{1，2}⊆B⊆{1，2，4}，则B＝________. 解析　由条件知B中一定含有元素1和2，故B可能是{1，2}或{1，2，4}. 答案　{1，2}或{1，2，4} [微思考] 1.A⊆B能否理解为子集A是B中的“部分元素”所组合的集合？ 提示　A⊆B不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A＝，则A中不包含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素，而此时可以说集合A是集合B的子集. 2.符号“∈”与“⊆”的区别是什么？[来源:学.科.网] 提示　符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系，而符号“⊆”用于表示集合与集合之间的关系. 3.集合A中有n(n∈N＋)个元素，则A的子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数分别是多少？ 提示　由n个元素组成的集合A有2n个子集； 有(2n－1)个真子集； 有(2n－1)个非空子集； 有(2n－2)个非空真子集. 题型一　集合关系的判断或证明 【例1】　指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (3)A＝(－1，4)，B＝{x|x－5<0}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}. 解　(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. (2)等边三角形是三边都相等的三角形，等腰三角形是存在两边相等的三角形，故AB. (3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB. (4)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故NM. 规律方法　1.判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察. (2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. (3)数形结合法：利用数轴或维恩图. 2.证明A＝B，只需证明A⊆B且B⊆A. 3.证明集合间的包含关系，一般用定义. 【训练1】　(1)集合A＝{x|(x－3)(x＋2)＝0}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c