1.1.3 第二课时 集合的补集-2020-2021新教材高一数学必修第一册【创新设计】同步学考笔记（人教B版）

第二课时　集合的补集 课标要求 素养要求 1.在具体情境中，了解全集的含义. 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集. 能够在现实情境或数学情境中概括出全集、补集等数学对象的一般特征，并学会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达和转换，提升数学抽象和数学运算素养. 新知探究 某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}，其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军}. 问题　没有获得金奖的学生有哪些？ 提示　没有获得金奖的学生的集合为Q＝{赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}. 1.全集 (1)定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集. (2)记法：全集通常用U表示. 2.补集 注意补集是相对于全集而言的，没有全集补集就不存在 文字语言 如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作∁UA，读作“A在U中的补集” 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 3.补集运算的性质 给定全集U及其任意一个子集A，有 (1)A∪(∁UA)＝U； (2)A∩(∁UA)＝； (3)∁U(∁UA)＝A. 拓展深化 [微判断] 1.根据研究问题的不同，可以指定不同的全集.(√) 2.存在x0∈U，x0∉A，且x0∉∁UA.(×) 提示　要么x0∈A，要么x0∈∁UA，且有且只有一个成立. 3.设全集U＝R，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,x)>1))，则∁UA＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,x)≤1)).(×) 提示　A＝{x|0<x<1}，∁UA＝{x|x≤0或x≥1}. 4.设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x>0且y>0}，则∁UA＝{(x，y)|x≤0且y≤0}.(×) 提示　全集U是由平面直角坐标系内的所有点构成的集合，而集合A表示第一象限内的点构成的集合，显然所求的∁UA是错误的. [微训练] 1.若全集U＝R，集合A＝[1，＋∞)，则∁UA＝________. 解析　由补集的定义，结合数轴可得∁UA＝(－∞，1). 答案　(－∞，1) 2.设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则∁U(A∪B)＝________. 解析　∵A∪B＝{1，2，3，4}，∴∁U(A∪B)＝{5}. 答案　{5} [微思考] 全集是固定不变的吗？ 提示　全集不是固定不变的，是相对于研究的问题而言的，如在整数范围内研究问题，Z是全集，而在实数范围内研究问题，R是全集.只讨论大于0且小于5的实数，则选{x|0<x<5}为全集.通常也把给定的集合作为全集. 题型一　补集的基本运算 【例1】　(1)设集合U＝R，M＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，则∁UM＝(　　) A.[－2，2] B.(－2，2) C.(－∞，－2)∪(2，＋∞) D.(－∞，－2]∪[2，＋∞) (2)已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a＝________. 解析　(1)如图，在数轴上表示出集合M，可知∁UM＝[－2，2]. (2)由题意可知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,a2－2a＋3＝3，))解得a＝2. 答案　(1)A　(2)2 规律方法　求补集的方法 (1)列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合. (2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合. 【训练1】　(1)已知全集U＝[－3，＋∞)，集合A＝(－3，4]，则∁UA＝________. (2)设U＝{0，1，2，3}，A＝{x|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1，2}，则实数m＝________. 解析　(1)借助数轴得∁UA＝{－3}∪(4，＋∞). (2)∵∁UA＝{1，2}，∴A＝{0，3}， ∴0，3是方程x2＋mx＝0的两个根， ∴m＝－3. 答案　(1){－3}∪(4，＋∞)　(2)－3 题型二　集合交、并、补的综合运算 【例2】　已知全集U＝(－∞，4]，集合A＝(－2，3)，B＝[－3，2]，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB). 解　利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，如图. 则∁UA＝(－∞，－2]∪[3，4]， ∁UB＝(－∞，－3)∪(2，4]； 所以A∩B＝(－2，2]； (∁UA)∪B＝(－∞，2]∪[3，4]； A∩(∁U