2.1.1 等式的性质与方程的解集-2020-2021新教材高一数学必修第一册【创新设计】同步学考笔记（人教B版）

第二章　等式与不等式 ［数学文化］——了解数学文化的发展与应用 柯西与柯西不等式 在历史上，有一位数学家叫欧拉，他的徒弟叫拉格朗日，他徒弟的徒弟叫柯西.这个徒弟的徒弟虽然比不上他，但是还是写了些东西的，做出了一些成就.柯西，出生于巴黎，在数学领域有很高的建树和造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分等式，他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书. ［读图探新］——发现现象背后的知识 1.在日常生活中，购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.2 m（含1.2 m）而不超过1.5 m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票（简称儿童票），超1.5 m时应买全价票.每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.2 m的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票. 2.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还需继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，“刹车距离”是分析事故的重要因素.在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但最后还是碰了，事后现场勘查发现甲的刹车距离超过12 m，乙的刹车距离超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离S（m）与车速x（km/h）之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2. 3.某金店有一座天平，由于左、右两臂长略有不等，所以直接称重不准确.有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左、右两盘各称一次，得到两个不同的重量a和b，然后就把两次称得的重量的算术平均数eq \f(a＋b,2)作为项链的重量来计算.顾客对这个重量的真实性提出了质疑. 问题1：在图1中，从数学的角度应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？ 问题2：在图2中，如何检验甲、乙两车有无超速现象？ 问题3：在图3中，这样计算的重量相对于原来的真实重量到底是大了还是小了呢？ 链接：相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，我们可以利用相等关系或不等关系构建方程、不等式等，不等式中通常利用不等符号来表示，如不超过即为小于等于，超过则为大于.刹车距离与速度有着密切的关系，通过本章学习，我们可以迅速地判断汽车是否超速及项链重量的真实性问题. 2.1　等　式 2.1.1　等式的性质与方程的解集 课标要求 素养要求 1.能用符号语言和量词表示等式的性质. 2.了解恒等式，掌握常见的恒等式，会用“十字相乘法”分解二次三项式. 3.能利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，求一些方程的解集. 通过利用等式的性质和恒等式的变形培养数学运算、数学抽象、逻辑推理素养. 新知探究 有只狡猾的狐狸平时总喜欢戏弄其它动物，有一天它遇见老虎，狐狸说：“我发现了2和5可以相等.我这里有一个方程5x－2＝2x－2. 等式两边同时加上2，得5x－2＋2＝2x－2＋2， 即5x＝2x　①， 等式两边同时除以x，得5＝2　②.” 老虎瞪大了眼睛，一脸的疑惑.你认为狐狸的说法正确吗？ 问题　如果正确，请说明理由；如果不正确，请指出错在哪里，并加以改正. 提示　不正确.错在②上，应改为等式两边同时加上－2x，得5x－2x＝2x－2x，即3x＝0，两边同乘以eq \f(1,3)，得x＝0. 1.等式的性质　 这些性质是等式或方程变形的依据 (1)如果a＝b，则对任意c，都有a＋c＝b＋c； (2)如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac＝bc； (3)如果a＝b，则对任意c，都有a－c＝b－c； (4)如果a＝b，则对任意不为零的c，都有eq \f(a,c)＝eq \f(b,c). 2.恒等式 (1)恒等式的含义 若恒等式两边是多项式，则对应项的系数相等 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等. (2)常见的代数恒等式 ①(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 ②a2－b2＝(a＋b)(a－b) ③a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2) a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2) ④(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab (ax＋b)(cx＋d)＝acx2＋(ad＋bc)x＋bd (3)十字相乘法 给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，则x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b).为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用图来表示：，其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”. 3.方程的解集 (1)方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值.一般地，把一个方程所有解组成的集