2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系-2020-2021新教材高一数学必修第一册【创新设计】同步学考笔记（人教B版）

2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 课标要求 素养要求 1.理解判别式的作用，掌握一元二次方程的解法：因式分解法(包括“十字相乘法”)，配方法和求根公式法(重点). 2.掌握一元二次方程根与系数的关系(韦达定理). 通过求一元二次方程的解集及根与系数关系的应用，提升逻辑推理和数学运算素养. 新知探究 利用恒等式的变形，推导一元二次方程根与系数的关系如下 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)两根为x1，x2， 令ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)＝ax2－a(x1＋x2)x＋ax1x2， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－a（x1＋x2），,c＝ax1x2，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(b,a)，,x1x2＝\f(c,a).)) 1.一元二次方程的解集[来源:学|科|网Z|X|X|K] (1)一般地，方程x2＝t： ①当t>0时，解集为{eq \r(t)，－eq \r(t)}； ②当t＝0时，解集为{0}； ③当t<0时，解集为∅. (2)一般地，方程(x－k)2＝t： ①当t>0时，解集为{k＋eq \r(t)，k－eq \r(t)}； ②当t＝0时，解集为{k}； ③当t<0时，解集为. (3)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式及求根公式 一般地，Δ＝b2－4ac称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式.对一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，Δ>0⇔有两个不相等的实根；Δ＝0⇔有两个相等的实根；Δ<0⇔无实数根. 当Δ≥0时，x1＝eq \f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，x2＝eq \f(－b－\r(b2－4ac),2a)叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式. (4)一元二次方程的解集　eq \a\vs4\al(实系数一元二次方程有实数根的充要条件是Δ≥0) 设ax2＋bx＋c＝0(a≠0) ①当Δ＝b2－4ac＞0时，方程的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，\f(－b－\r(b2－4ac),2a)))； ②当Δ＝b2－4ac＝0时，方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))； ③当Δ＝b2－4ac＜0时，方程的解集为∅. 2.一元二次方程根与系数的关系 对任何Δ≥0的一元二次方程，根与系数的关系都成立 (1))设x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(b,a)，,x1x2＝\f(c,a).)) (2)常用的几个变形： ①xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2； ②(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； ③xeq \o\al(3,1)＋xeq \o\al(3,2)＝(x1＋x2)3－3x1x2(x1＋x2)； ④|x1－x2|＝eq \r((x1－x2)2)＝eq \r((x1＋x2)2－4x1x2)； ⑤eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＝eq \f(x1＋x2,x1x2). 拓展深化 [微判断] 1.ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数)叫做一元二次方程.(×)[来源:Zxxk.Com] 提示　当a＝0时，不是一元二次方程. 2.一元二次方程均可化为(x－k)2＝t的形式.(√) 3.一元二次方程解的情况由一元二次方程的系数完全确定.(√)[来源:Zxxk.Com] [微训练] 1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(　　) A.3(x＋1)2＝2(x＋1) B.eq \f(1,x2)＋eq \f(1,x)－2＝0 C.ax2＋bx＋c＝0 D.x2＋2x＝x2－1 解析　A中方程可化为3x2＋4x＋1＝0，是一元二次方程；B中方程是关于eq \f(1,x)的一元二次方程；对C，当a＝0时，不是关于x的一元二次方程；D中方程可化为2x＝－1，不是一元二次方程. 答案　A 2.已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值等于(　　) A.－1 B.0 C.1 D.2 解析　由题意，m2－m－1＝0，即m2－m＝1. 答案　C 3.关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，则p，q的值分别为(　　) A.－3，2 B.3，－2 C.2，－3 D.2，3 解析　由根与系数的关系，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＋1＝－p，,2×1＝q，))∴eq \b\lc\