2.1.3 方程组的解集-2020-2021新教材高一数学必修第一册【创新设计】同步学考笔记（人教B版）

2.1.3　方程组的解集 课标要求 素养要求 1.了解方程组及其解集的定义. 2.掌握求方程组解集的常用方法. 3.了解方程组中方程个数、未知数个数对方程组解集的影响. 通过求方程组解集，提升数学运算、数学抽象、逻辑推理素养. 新知探究 我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x，y，z，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝100，,5x＋3y＋\f(1,3)z＝100，)) 当z＝81时，x＝________，y＝________.[来源:学。科。网Z。X。X。K] 提示　法一　由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋81＝100，,5x＋3y＋\f(1,3)×81＝100，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝19，,5x＋3y＝73，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8，,y＝11.)) 法二　100－81＝19(只)，81÷3＝27(元). 假设剩余的19只鸡全是鸡翁，则5×19＝95(元). 因为95－73＝22(元). 所以鸡母：22÷(5－3)＝11(只)， 鸡翁：19－11＝8(只). 1.方程组的解集概念 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组.方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集. 2.解法 求方程组解集的依据还是等式的性质等，常用的方法是消元法. 3.方程组的解集 当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素.此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来. 拓展深化 [微判断] 1.若ab＝0，则a＝0或b＝0.(√) 2.二元方程的解集是无限集.(×) 提示　(x－1)2＋(y－1)2＝0的解集为{(x，y)|(1，1)}. 3.二元一次方程组的解集可能是空集.(√) [微训练] 1.若eq \r(a＋b＋5)＋|2a－b＋1|＝0，则(b－a)2 020＝________. 解析　由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋5＝0，,2a－b＋1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－3.)) ∴(b－a)2 020＝(－3＋2)2 020＝(－1)2 020＝1. 答案　1 2.二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(mx＋ny＝8，,nx－my＝1))的解集为{(x，y)|(2，1)}，则2m－n的算术平方根为________. 解析　由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝8，,2n－m＝1，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝2.))∴2m－n＝4，∴eq \r(2m－n)＝2. 答案　2 3.下列说法正确的是________(填序号). ①二元一次方程只有一个解；②二元一次方程组有无数个解；③二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的解；④三元一次方程组一定由三个三元一次方程组成. 解析　二元一次方程有无穷多个解，①不正确；二元一次方程组有一个解或无穷多个解或无解，②不正确；由方程组解集的定义知③正确；三元一次方程组中并非每一个方程均为三元一次方程，④不正确. 答案　③ [微思考] 1.常见的消元法有哪两种？ 提示　加减消元和代入消元. 2.解二元二次方程组的基本思路是什么？ 提示　“消元”与“降次”. 题型一　二元一次方程组的解集 角度1　二元一次方程组解的个数 【例1－1】　已知方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝7，,ax＋2y＝c，))试确定a，c的值，使方程组(1)有一个解；(2)有无数个解；(3)没有解. 解　(1)当1×2－a≠0即a≠2时，方程组有一个解. (2)当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1×2－a＝0，,1×c－7×2＝0))即a＝2且c＝14时，方程组有无穷多解. (3)当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1×2－a＝0，,1×c－2×7≠0))即a＝2且c≠14时，方程组无解. 角度2　求二元一次方程组的解集 【例1－2】　求方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝－1　①，,4x－y＝5 ②))的解集. 解　法一　(代入法)由②，得y＝4x－5　③， 把③代入①，得2x＋3(4x－5)＝－1， 解这个一元一次方程，得x＝1， 把x＝1代入③，得y＝－1. 所以这个方程组的解集为{(1，－1)