2.2 习题课 不等式恒成立、能成立问题-2020-2021新教材高一数学必修第一册【创新设计】同步学考笔记（人教B版）

习题课　不等式恒成立、能成立问题 题型一　数形结合法解决恒成立问题 【例1】　当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求m的取值范围. 解　 令y＝x2＋mx＋4. ∵y<0在[1，2]上恒成立， ∴x2＋mx＋4＝0的根一个小于1上，另一个大于2. 如图，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋m＋4<0，,4＋2m＋4<0，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋5<0，,2m＋8<0，))解得m<－5. ∴m的取值范围是(－∞，－5). 规律方法　结合函数的图像将问题转化为函数图像的对称轴，区间端点的函数值或函数图像的位置(相对于x轴)关系求解.可结合相应一元二次方程根的分布解决问题. 【训练1】　(1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围； (2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围. 解　(1)当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意. 当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，∵y<0恒成立， ∴其图像都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点. ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k<0，,4k2＋4k（k＋2）<0，))解得－1<k<0. 综上，实数k的取值范围是(－1，0]. (2)原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0， ∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0， 即4－4(a2－3a－3)≤0，即a2－3a－4≥0， 解得a≤－1或a≥4， ∴实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[4，＋∞). 题型二　分离参数法解决恒成立问题 【例2】　设函数y＝mx2－mx－1，x∈[1，3]，若y<－m＋5恒成立，求m的取值范围. 解　y<－m＋5恒成立， 即m(x2－x＋1)－6<0恒成立， ∵x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)>0， 又m(x2－x＋1)－6<0， ∴m<eq \f(6,x2－x＋1). ∵y＝eq \f(6,x2－x＋1)＝eq \f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))在1≤x≤3上的最小值为eq \f(6,7)，∴只需m<eq \f(6,7)即可. ∴m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(6,7))). 规律方法　通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题. 【训练2】　已知函数y＝eq \f(x2＋2x＋a,x)对于任意x≥1有y>0恒成立，求实数a的取值范围. 解　x≥1时，y＝eq \f(x2＋2x＋a,x)>0恒成立， 等价于x2＋2x＋a>0恒成立， 即a>－(x2＋2x)恒成立， 即a>[－(x2＋2x)]max. 令y1＝－(x2＋2x)，则 当x≥1时，y1＝－(x2＋2x)＝－(x2＋2x＋1)＋1＝－(x＋1)2＋1≤－3. ∴实数a的取值范围为{a|a>－3}. 题型三　主参换位法解决恒成立问题 【例3】　已知a∈[－1，1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，求x的取值范围. 解　把不等式的左端看成关于a的一次函数， 记y＝(x－2)a＋x2－4x＋4， 则由y>0对于任意的a∈[－1，1]恒成立， 将a＝－1和a＝1代入， 解不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－5x＋6>0，,x2－3x＋2>0，))得x<1或x>3. ∴x的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞). 规律方法　转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解. 【训练3】　对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px>4x＋p－3恒成立，试求x的取值范围. 解　不等式x2＋px>4x＋p－3恒成立， 即(x－1)p＋(x2－4x＋3)>0， 设y＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)是以p为自变量的一次函数，则0≤p≤4时y>0恒成立， 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－1）·0＋x2－4x＋3>0，,4（x－1）＋x2－4x＋3>0，)) 解得x>3或x<－1. ∴x的取值范围是{x|x>3或x<－1}. 题型四　转化为函数的最值解决能成立问题 【例4】　若存在x∈R，使得eq \f(4x＋m,x2－2x＋3)≥2成立，求实数m的取值范围. 解　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， ∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立， ∴m≥2x2－8x＋6能成立， 令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2， ∴m