2.2.1 不等式及其性质-2020-2021新教材高一数学必修第一册【创新设计】同步学考笔记（人教B版）

2.2　不等式 2.2.1　不等式及其性质 课标要求 素养要求 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系. 2.会用作差法比较两个实数的大小. 3.掌握不等式的性质及推论. 4.运用不等式的性质及推论解决有关问题. 1.通过运用不等式(组)表示实际问题的不等关系及比较两个实数的大小提升数学抽象及数学运算素养. 2.通过学习不等式的性质及运用不等式的性质解决问题，提升逻辑推理及数学运算素养. 新知探究 在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，你能根据这一事实表示出糖水浓度不等式吗？ 提示　糖水变甜这一现象对应的不等式为eq \f(a,b)＜eq \f(a＋c,b＋c)，其中a＜b，c＞0. 1.不等关系与不等式 eq \a\vs4\al(两个量的大小关系有几种？不等关系与不等式不是同一个概念) (1)不等式的概念 用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式. (2)实数的坐标与实数的性质 ①实数的坐标 实数与数轴上的点一一对应，如果点P对应的数为x，则称x为点P的坐标，并记作P(x).两个数在数轴上对应的点的相对位置决定了这两个数的大小. 数轴上的点往数轴的正方向(负方向)运动时，它所对应的实数会变大(变小).一个数加上一个正数，相当于数轴上对应的点向正方向移动了一段距离；一个数减去一个正数(即加上一个负数)，相当于数轴上对应的点向负方向移动了一段距离. ②实数的性质　 作差法比较大小的依据 任意给定两个实数a，b，那么 a－b＜0⇔a＜b，a－b＝0⇔a＝b，a－b＞0⇔a＞b. 2.不等式的性质 性质 别名 内容 性质1 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 性质2 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc 性质3 a>b，c<0⇒ac<bc 性质4 传递性 a>b，b>c⇒a>c 性质5 对称性 a>b⇔b<a 3.不等式的推论 推论 别名 内容 推论1 移项法则 a＋b>c⇔a>c－b 推论2 同向不等式相加 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 推论3 同向不等式相乘 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 推论4 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n>1) 推论5 可开方性 a>b>0⇒eq \r(a)>eq \r(b)[来源:学#科#网Z#X#X#K] 拓展深化 [微判断] 1.a不小于b可以表示为a>b.(×) 提示　a不小于b应表示为a≥b. 2.a>b⇔ac2>bc2.(×) 提示　由ac2>bc2⇒a>b，但当c＝0时，a>bac2>bc2. 3.同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(×) 提示　同向不等式相乘需要每个不等式两端非负，而相加只需不等式同向即可. 4.设a，b∈R，且a>b，则a3>b3.(√) 5.推论5可推广为：如果a＞b＞0，那么eq \r(n,a)＞eq \r(n,b)(n∈N＋且n≥2)(√) [微训练] 1.设a，b，c∈R，且a＞b，则(　　) A.ac＞bc B.eq \f(1,a)＜eq \f(1,b) C.a2＞b2 D.a3＞b3 解析　当c＝0时，选项A不成立；当a＞0，b＜0时，选项B不成立；当a＝1，b＝－5时，选项C不成立；a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(b,2)))\s\up12(2)＋\f(3b2,4)))＞0，故选D. 答案　D 2.用分析法：欲证①A>B，只需证②C<D，这里①是②的(　　) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即②⇒①，故①是②的必要条件. 答案　B [微思考] 1.当x＝3时，x≥3成立吗？ 提示　当x＝3时，x≥3成立，实际上，x≥3的含义是x>3或x＝3中有一个成立时，x≥3成立. 2.若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？ 提示　a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立. 3.若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？ 提示　不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立. 题型一　用不等式(组)表示不等关系 【例1】　某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种.按照生产的要求600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍，写出满足所有上述不等关系的不等式(组). 解　设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根. 根据题意得：eq \b\l