2.2.2 不等式的解集-2020-2021新教材高一数学必修第一册【创新设计】同步学考笔记（人教B版）

2.2.2　不等式的解集 课标要求 素养要求 1.了解不等式(组)解集的概念，会求简单的一元一次不等式(组)的解集. 2.了解绝对值不等式的概念，会求形如|x|≤m，|x|≥m的绝对值不等式的解集. 1.通过学习不等式(组)解集的概念，提升数学抽象素养. 2.通过求不等式(组)的解集，提升数学运算素养. 3.通过学习绝对值不等式及其解法，提升直观想象及数学运算素养. 新知探究 如图为某三岔路口交通环道的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段eq \o(AB,\s\up8(︵))，eq \o(BC,\s\up8(︵))，eq \o(CA,\s\up8(︵))的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出车辆数相等). 问题1　你能用x3，x1，x2分别表示出x1，x2，x3吗？ 提示　x1＝50＋x3－55＝x3－5，x2＝x1－20＋30＝x1＋10，x3＝x2－35＋30＝x2－5. 问题2　你能判断出x1，x2，x3的大小吗？ 提示　由1知x1＝x3－5，x2＝x3＋5，则x1<x3<x2. 1.不等式的解集与不等式组的解集 (1)不等式的解集 eq \a\vs4\al(一元一次不等式均可化归为ax≥（>或<或≤）b求解集) 不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集. (2)不等式组的解集 不等式组中若有一个不等式的解集为∅，则不等式组的解集为；每一个不等式的解集均不是，不等式组的解集也可能是∅ 对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集. 2.绝对值不等式 (1)绝对值不等式的概念 一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式. (2)两种简单的绝对值不等式的解集 ①关于x的不等式|x|>m(m>0)的解为x>m或x<－m，解集为(－∞，－m)∪(m，＋∞)； ②关于x的不等式|x|<m(m>0)的解为－m<x<m，解集为(－m，m). (3)数轴上两点之间的距离公式及线段中点的坐标公式 一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|，这就是数轴上两点之间的距离公式. 如果线段AB的中点M对应的数为x，即M(x)，则x＝eq \f(a＋b,2)；这就是数轴上的中点坐标公式. 拓展深化 [微判断] 1.不等式x>y2的解集为(0，＋∞).(×) 提示　未指明未知数. 2.不等式组中的不等式不能有等号.(×)[来源:学,科,网] 提示　不等式组中的不等式可以有等号. 3.关于x的不等式|x|<m的解集为(－m，m).(×) 提示　当m≤0时，不正确. [微训练] 1.平流层是指地球表面以上10 km到50 km的区域，下述不等式中，x能表示平流层高度的是(　　) A.|x＋10|<50 B.|x－10|<50 C.|x＋30|<20 D.|x－30|<20 解析　由题意知10<x<50，故选D. 答案　D 2.不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x－5≥0，,\r(2)x－3\r(2)≥0))的解集为________. 解析　由－2x－5≥0得x≤－eq \f(5,2)， 由eq \r(2)x－3eq \r(2)≥0得x≥3， ∴原不等式组的解集为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,2)))∩[3，＋∞)＝. 答案　 3.求关于x的不等式ax<1的解集. 解　当a<0时，x>eq \f(1,a)，解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))； 当a＝0时，x∈R； 当a>0时，x<eq \f(1,a)，解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,a))). [微思考] 1.解关于x的不等式ax>b(a，b为常数)与解关于x的一次不等式ax>b(a，b为常数)有什么区别？ 提示　解关于x的不等式ax>b时，要分a<0，a＝0，a>0三种情况讨论求解；解关于x的一次不等式ax>b时，只分a<0，a>0两种情况讨论求解. 2.若不等式ax－1>x＋2的解集为M，不等式ax－1>x＋2在(m，n)上恒成立，那么M＝(m，n)吗？ 提示　不一定.应有(m，n)⊆M. 题型一　解一元一次不等式 角度1　解不含参数的一元一次不等式 【例1－1】　求不等式eq \f(x,2)－1≤eq \f(7－x,3)的非负整数解.[来源:学_科_网] 解　去分母，得3x－6≤14－2x，移项，得3x＋2x≤14＋6. 合并同类项，得5x≤20，系数化为1，得x≤4. 因为小于