2.2.3 一元二次不等式的解法-2020-2021新教材高一数学必修第一册【创新设计】同步学考笔记（人教B版）

2.2.3　一元二次不等式的解法 课标要求 素养要求 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的概念. 2.掌握求一元二次不等式解集的两种方法：因式分解法和配方法；会解简单的分式不等式. 通过从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程及用因式分解或配方法求一元二次不等式的解集，提升数学抽象、数学运算素养. 新知探究 1.某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5 000册.要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？ 2.①已知三个方程：x2－4x＋3＝0；x2－4x＋4＝0；x2－4x＋5＝0.②已知三个函数y1＝x2－4x＋3，y2＝x2－4x＋4，y3＝x2－4x＋5及三个函数对应的图像. 问题　1.观察实例1中的不等式，指出其含未知数个数及未知数的次数？ 2.观察实例2，①中三个方程的解分别为x1＝1，x2＝3；x1＝x2＝2；无解，②中三个函数与x轴交点横坐标分别为1，3；2；无交点.由图像观察可知在②中三个函数中，x分别取何值函数值为正、负？ 提示　设每本杂志价格提高x元，则发行量减少2.5x万册，杂志社的销售收入为(2＋x)(10－2.5x)万元.根据题意，得(2＋x)(10－2.5x)>22.4，即5x2－10x＋4.8<0，解此不等式，最终得每本杂志的价格范围. 1.只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2. 2.对于y1＝x2－4x＋3，当x<1或x>3时，y1＝x2－4x＋3>0，当1<x<3时，y1＝x2－4x＋3<0；对于y2＝x2－4x＋4，当x≠2时，y2＝x2－4x＋4>0；对于y3＝x2－4x＋5，当x∈R时，y3＝x2－4x＋5>0. 1.一元二次不等式的概念 一般地，形如ax2＋bx＋c＞0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“＜”“≥”“≤”等. 2.求一元二次不等式的解集的方法 (1)因式分解法 一般地，如果x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞). (2)配方法 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2＞k或(x－h)2＜k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集.[来源:Zxxk.Com] 拓展深化 [微判断] 1.不等式ax2＋x－1<0是一元二次不等式.(×) 提示　只有当a≠0时，ax2＋x－1<0才是一元二次不等式. 2.不等式x2－5y<0是一元二次不等式.(×) 提示　x2－5y<0含有两个未知数，故不是一元二次不等式. 3.不等式x2－2x＋3>0的解集为R.(√) [微训练] 1.不等式(x＋2)(x－3)>0的解集是________. 答案　{x|x>3或x<－2} 2.不等式x2<2的解集是________. 答案　{x|－eq \r(2)<x<eq \r(2)} [微思考] 1.a2b＋2ab2＋9>0(ab≠0)可看作一元二次不等式吗？ 提示　可以，把b看作常数，则是关于a的一元二次不等式；把a看作常数，则是关于b的一元二次不等式. 2.举例说明某些一元二次不等式的解集为∅. 提示　例如x2＋x＋1≤0的解集为∅. 题型一　解不含参数的一元二次不等式 角度1　因式分解法 【例1－1】　求下列一元二次不等式的解集. (1)x2－10x－600＞0； (2)－3x2＋2x＋1≥0. 解　(1)因为x2－10x－600＝(x＋20)(x－30)，所以原不等式等价于(x＋20)(x－30)＞0， 因此所求解集为(－∞，－20)∪(30，＋∞). (2)原不等式可化为3x2－2x－1≤0　①， 又3x2－2x－1＝(x－1)(3x＋1)＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))(x－1)， 所以①等价于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))(x－1)≤0， 因此所求解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1)). 角度2　配方法 【例1－2】　求下列不等式的解集. (1)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)； (2)－3x2＋6x≤2. 解　(1)由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2. ∴原不等式可化为9x2－12x＋4＞0.　① 由于9x2－12x＋4＝(3x－2)2＝9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,3))) eq \s\up12(2)， ∴①可化为9eq \b\lc