2.2.4 第一课时 均值不等式-2020-2021新教材高一数学必修第一册【创新设计】同步学考笔记（人教B版）

2.2.4　均值不等式及其应用 第一课时　均值不等式 课标要求 素养要求 掌握均值不等式eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)(a，b都是正数).能用均值不等式解决问题. 通过学习均值不等式及其简单应用，重点培养数学运算、逻辑推理素养. 新知探究 如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标.它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理所作的“弦图”进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车. 问题　依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？ 提示　由图可知 ①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab； ②a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，取“＝”. 1.算术平均值与几何平均值 (1)两个正数的算术平均值、几何平均值定义 给定两个正数a，b，数eq \f(a＋b,2)称为a，b的算术平均值；数eq \r(ab)称为a，b的几何平均值. (2)均值不等式 如果条件改为a≥0，b≥0，均值不等式仍成立 如果a，b都是正数，那么eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立. 2.几个重要不等式 已知a，b∈R，则有 (1)a2＋b2≥2ab； (2)(a＋b)2≥4ab； (3)2(a2＋b2)≥(a＋b)2； 当且仅当a＝b时，等号成立. 拓展深化 [微判断] 1.eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)对任意实数a，b都成立.(×) 提示　只有当a≥0且b≥0时，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)才能成立. 2.若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2eq \r(ab).(√) 3.若a>0，b>0，则ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2).(√) [微训练] 1.不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是________. 解析　当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0， 即a＝1时，等号成立. 答案　a＝1 2.当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________(填序号). ①eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2；②a－b≥2eq \r(ab)； ③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab. 解析　根据eq \f(a2＋b2,2)≥ab，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的条件判断，知①②④错，只有③正确. 答案　③ [微思考] 不等式eq \f(a2＋b2,2)≥ab和eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的条件相同吗？ 提示　(1)eq \f(a2＋b2,2)≥ab与eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的条件不同.前者中的a，b为任意实数，后者中的a，b只能取非负实数. (2)两个不等式都是当且仅当a＝b时取到等号，这一点在求最值时经常用到.a＝b⇔eq \f(a2＋b2,2)＝ab；a＝b≥0⇔eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab). 题型一　利用均值不等式比较大小 【例1】　设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　) A.a<b<eq \r(ab)<eq \f(a＋b,2) B.a<eq \r(ab)<eq \f(a＋b,2)<b C.a<eq \r(ab)<b<eq \f(a＋b,2) D.eq \r(ab)<a<eq \f(a＋b,2)<b 解析　法一　∵0<a<b，∴a<eq \f(a＋b,2)<b，排除A，C两项.又eq \r(ab)－a＝eq \r(a)(eq \r(b)－eq \r(a))>0，即eq \r(ab)>a，排除D项，故选B. 法二　取a＝2，b＝8，则eq \r(ab)＝4，eq \f(a＋b,2)＝5，所以a<eq \r(ab)<eq \f(a＋b,2)<b.[来源:学科网] 答案　B 规律方法　利用均值不等式比较实数大小的注意事项 (1)利用均值不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积). (2)利用均值不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0. 【训练1】　比较大小：eq \f(x2＋2,\r(x2＋1))________2(填“>”“<”“≥”或“≤”). 解析　eq \f(x2＋2,\r(x2＋1))＝eq \r(x2＋1)＋eq \f(1,\r(x2＋1))≥2，当且仅当eq \r(x2＋1)＝eq \f(1,\r(x2＋1))，即x＝0时，等号成立. 答案　≥ 题型二　利用均值不等式求最值 【例2】　(1)当x>0时，求eq \f(12,x)＋4x的最小值； (2)当x<0时，求eq \f(12,x)＋4x的最大值； (3)当x>1时，求2x＋eq \f(8,x－1)的最小值； (4)已知4x＋eq \f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值. 解　(1)∵