2.2.4 第二课时 均值不等式的应用-2020-2021新教材高一数学必修第一册【创新设计】同步学考笔记（人教B版）

第二课时　均值不等式的应用 课标要求 素养要求 掌握均值不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a，b>0).结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题. 通过学习均值不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养. 新知探究 (1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？ (2)某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？ 问题　实例中两个问题的实质是什么？如何求解？ 提示　这两个都是求最值问题.第一个问题是矩形周长一定，即长x与宽y的和一定，求xy的最大值，xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))eq \s\up12(2)＝252＝625，当且仅当x＝y＝25时取等号，即鸡舍为正方形，长与宽各为25米时鸡舍面积最大.第二个问题是矩形面积一定，求矩形长x与宽y之和最小值，x＋y≥2eq \r(xy)＝2eq \r(10 000)＝200，当且仅当x＝y＝100时取等号，即当农场为正方形，边长为100米时，所用篱笆最省. 1.均值不等式与最大(小)值 eq \a\vs4\al(口诀：和定积最大，积定和最小) 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值. (1)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2. (2)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P). 2.均值不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具. 拓展深化 [微判断] 1.对于实数a，b，若a＋b为定值，则ab有最大值.(×) 提示　a，b不一定为正实数. 2.对于实数a，b，若ab为定值，则a＋b有最小值.(×) 提示　a，b不一定为正实数. 3.若x>2，则x＋eq \f(1,x)的最小值为2.(×) 提示　当且仅当x＝1时才能取得最小值2，故x>2时，取不到最小值2. [微训练] 1.已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是________.[来源:学|科|网Z|X|X|K] 解析　a＋b≥2eq \r(ab)＝2eq \r(10)，当且仅当a＝b＝eq \r(10)时等号成立. 答案　2eq \r(10) 2.已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是________. 解析　由m2＋n2≥2mn，∴mn≤eq \f(m2＋n2,2)＝50.当且仅当m＝n＝±5eq \r(2)时等号成立. 答案　50 [微思考] 1.利用均值不等式求最大值或最小值时，应注意什么问题呢？ 提示　利用均值不等式求最值时应注意：一正，二定，三相等. 2.已知x，y为正数，且eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)＝1，求x＋y的最小值. 下面是某同学的解题过程： 解：因为x>0，y>0，所以1＝eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)≥2×eq \f(2,\r(xy))＝eq \f(4,\r(xy))，所以eq \r(xy)≥4.从而x＋y≥2eq \r(xy)≥2×4＝8.故x＋y的最小值为8. 请分析上面解法是否正确，并说明理由. 解　这个同学的解法是错误的.理由如下： 上述解法中连续使用两次均值不等式，但这两个不等式中的等号不能同时成立.第一个不等式当且仅当eq \f(1,x)＝eq \f(4,y)＝eq \f(1,2)，即x＝2，y＝8时，等号成立；第二个不等式当且仅当x＝y时，等号成立，因此x＋y不能等于8. 正解　x＋y＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))＝1＋eq \f(y,x)＋eq \f(4x,y)＋4＝eq \f(y,x)＋eq \f(4x,y)＋5≥2·eq \r(\f(y,x)·\f(4x,y))＋5＝9，当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)＝1，,\f(y,x)＝\f(4x,y)，))即x＝3，y＝6时，等号成立.故x＋y的最小值为9. 题型一　均值不等式的简单应用 角度1　“常数代换法”求最值 【例1－1】　已知x>0，y>0，且eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，求x＋y的最小值. 解　∵eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，且x>0，y>0， ∴x＋y＝(x＋y)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))＝10＋eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y) ≥10＋2eq \r(\f(y,x)·\f(