第二章 章末复习课-2020-2021新教材高一数学必修第一册【创新设计】同步学考笔记（人教B版）

章末复习课 [网络构建] [核心归纳] 1.等式的性质 (1)如果a＝b，则对任意c，都有a＋c＝b＋c； (2)如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac＝bc； (3)如果a＝b，则对任意c，都有a－c＝b－c； (4)如果a＝b，则对任意不为零的c，都有eq \f(a,c)＝eq \f(b,c). 2.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解集及其根与系数的关系 (1)根的判别式Δ＝b2－4ac， ①Δ>0时，方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，\f(－b－\r(b2－4ac),2a)))； ②Δ＝0时，方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))； ③Δ<0时，方程的解集为. (2)根与系数的关系 设x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(b,a)，,x1x2＝\f(c,a).)) 3.不等式的性质及其推论[来源:学*科*网Z*X*X*K] 性质1　如果a＞b，那么a＋c＞b＋c. 性质2　如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc. 性质3　如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc. 性质4　如果a＞b，b＞c，那么a＞c. 推论1　如果a＋b＞c，那么a＞c－b. 推论2　如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d. 推论3　如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd. 推论4　如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n＞1). 推论5　如果a＞b＞0，那么eq \r(a)＞eq \r(b). 4.一元二次不等式的解法 (1)因式分解法与配方法. (2)含参数的一元二次不等式注意讨论参数. 5.利用均值不等式求最大(小)值问题 利用均值不等式求最大(小)值问题要注意“一正，二定，三相等”.常常需要对代数式进行通分、分解等变形，构造和为定值或积为定值的模型. 要点一　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 一元二次方程的解集及其根与系数的关系，虽在高考中不直接考查，但它是解决某些数学问题的基础，常在解题过程中用到，主要涉及到一元二次方程的解法及其根与系数的关系的应用. 【例1】　已知x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根. (1)是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－eq \f(3,2)成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由； (2)求使eq \f(x1,x2)＋eq \f(x2,x1)－2的值为整数的实数k的整数值. 解　(1)假设存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－eq \f(3,2)成立. ∵一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0有两个实数根， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k≠0，,Δ＝（－4k）2－4×4k（k＋1）＝－16k≥0，))解得k＜0.[来源:学科网ZXXK] 又x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝1，,x1x2＝\f(k＋1,4k).)) ∴(2x1－x2)(x1－2x2)＝2(xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2))－5x1x2＝2(x1＋x2)2－9x1x2＝－eq \f(k＋9,4k)＝－eq \f(3,2).∴k＝eq \f(9,5). 又k<0，∴不存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－eq \f(3,2)成立. (2)∵eq \f(x1,x2)＋eq \f(x2,x1)－2＝2,1)eq \f(x＋xeq \o\al(2,2),x1x2) －2＝eq \f(（x1＋x2）2,x1x2)－4＝eq \f(4k,k＋1)－4＝－eq \f(4,k＋1)， ∴要使其值是整数，只需k＋1能被4整除，即k＋1＝±1，±2，±4.又k＜0， ∴使eq \f(x1,x2)＋eq \f(x2,x1)－2的值为整数的实数k的整数值为－2，－3，－5. 【训练1】　已知关于x的一元二次方程kx2－(k－1)x－1＝0， (1)求证：方程有两个实数根； (2)当k为何值时，此方程的两个实数根互为相反数； (3)我们定义：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个正实数根x1，x2(x1>x2)，满足2＜eq \f(x1,x2)＜3，则称这个一元二次方程有两个“梦想根”.如果关于x的一元二次方程kx2－(k－1)x－1＝0有两个“梦想根”，求k的取值范围. (1)证明　∵关于x的一元二次方程kx2－(k－1)x－1＝0，a＝k，b＝－(k－1)，c＝－1，Δ＝b2－4ac＝[－(k－1