1.1.1 正弦定理（知识讲解）-2020-2021学年高二数学基础知识专项讲练（人教A版必修5）

1.1.1 正弦定理（知识讲解） 一、基础知识 1、正弦定理： 。 (其中 为 的外接圆的半径) 已知 ，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， 的外接圆 的直径长为 ，借助 的外接圆推导出正弦定理，证明如下： 如图，连接 并延长交圆 于点 ，连接 ， 则 ， ， 在 中， ，所以 ， 即 ，同理： 、 ，∴ 。 正弦定理的变形公式：① ， ， ； ② ， ， ； ③ ； ④ ； 2、三角形面积定理： ； 。 (其中 为 的内切圆的半径) 3、一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素， 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。 4、三角形解的个数的讨论 为锐角 为钝角或直角 或 两解 一解 无解 一解 无解 二、知识应用 1、正弦定理的概念 例1-1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理不适用于钝角三角形。 ( ) (2)在 中，等式 总能成立。 ( ) (3)在 中，若 ，则三角形是等腰三角形。 ( ) 例1-2．在 中，下列四个式子：① ，② ，③ ，④ ，其中为常数的是( )。 A、①③ B、②③ C、①④ D、②④ 2、利用正弦定理解三角形 例2-1．在 中， ， ， ， ( )。 A、 B、 C、 D、 例2-2．在 中，若 ， ， ，则 ( )。 A、 B、 C、 D、 例2-3．在 中， ， ， ， ( )。 A、 B、 C、 D、 例2-4．在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ，则角 的大小为 。 例2-5．在锐角三角形 中，若 、 ，向量 ， ，且 ，则 的面积为 。 3、三角形形状和解的个数的判断 例3-1．设 的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ，则 的形状为( )。 A、锐角三角