专题10 垂径定理实际应用-2021年中考数学分类专题突破

专题10 垂径定理实际应用 一．选择题 1．一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（　　） A．0.5 B．1 C．2 D．4 解：设半径为r，过O作OE⊥AB交AB于点D，连接OA、OB， 则AD＝AB＝×0.8＝0.4米， 设OA＝r，则OD＝r﹣DE＝r﹣0.2， 在Rt△OAD中， OA2＝AD2+OD2，即r2＝0.42+（r﹣0.2）2，解得r＝0.5米， 故此输水管道的直径＝2r＝2×0.5＝1米． 故选：B． 2．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为（　　） A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米 解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O 连接OA．根据垂径定理，得AD＝6 设圆的半径是r，根据勾股定理，得r2＝36+（r﹣4）2，解得r＝6.5 故选：A． 3．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水部分的面积是（　　） A．（π﹣4）cm2 B．（π﹣8）cm2 C．（π﹣4）cm2 D．（π﹣2）cm2 解：作OD⊥AB于C，交小⊙O于D，则CD＝2，AC＝BC， ∵OA＝OD＝4，CD＝2， ∴OC＝2， 在RT△AOC中，sin∠OAC＝＝， ∴∠OAC＝30°， ∴∠AOB＝120°， AC＝＝2， ∴AB＝4， ∴杯底有水部分的面积＝S扇形﹣S△AOB＝﹣××2＝（π﹣4）cm2 故选：A． 4．如图所示，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长，就计算出了圆环的面积，若测量得AB的长为20米，则圆环的面积为（　　） A．10平方米 B．10π平方米 C．100平方米 D．100π平方米 解：过O作OC⊥AB于C，连OA，如图， ∴AC＝BC，而AB＝20， ∴AC＝10， ∵AB与小圆相切， ∴OC为小圆的半径， ∴圆环的面积＝π•OA2﹣π•OC2 ＝π（OA2﹣OC2） ＝π•AC2 ＝100π（平方米）． 故选：D． 5．《九章算术》是一本中国乃至东方世界最伟大的一本综合性数学专著，标志着中国古代数学形成了完整的体系．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”朱老师根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为（　　） A．26寸 B．25寸 C．13寸 D．寸 解：设圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA， ∴AC＝AB＝×10＝5， 设⊙O的半径为r寸， 在Rt△ACO中，OC＝r﹣1，OA＝r， 则有r2＝52+（r﹣1）2， 解得r＝13， ∴⊙O的直径为26寸， 故选：A． 6．如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，可以找到圆形工件的圆心．如果使用此工具找到圆心，最少使用次数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解：如图所示， 根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心． 故选：B． 7．为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（　　） A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm 解：连接AB、CD交于点D， 由题意得，OC⊥AB， 则AD＝DB＝AB＝4， 设圆的半径为Rcm，则OD＝（R﹣2）cm， 在Rt△AOD中，OA2＝AD2+OD2，即R2＝42+（R﹣2）2， 解得，R＝5， 则该铁球的直径为10cm， 故选：B． 8．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（如图1），它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图． 有如下四个结论： ①勒洛三角形是中心对称图形； ②图1中，点A到上任意一点的距离都相等； ③图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等； ④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，会发生上下抖动． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 解：①勒洛三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故①错误； ②图1中，点A到上任意一点的距离都相等，正确； ③、设等边三角形DEF的边长为a， ∴勒洛三角形的周长＝3×＝aπ，圆的周长＝aπ， ∴勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故③正确． ④夹在平行线之间的莱洛三角形无论