专题09 圆中的长度与面积、动点问题-2021年中考数学分类专题突破

专题09 圆中的长度与面积、动点问题 1．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角． （1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E． （2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角． （3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径． ①求∠AED的度数； ②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积． 解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD， ∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝α， （2）如图1，延长BC到点T， ∵四边形FBCD内接于⊙O， ∴∠FDC+∠FBC＝180°， 又∵∠FDE+∠FDC＝180°， ∴∠FDE＝∠FBC， ∵DF平分∠ADE， ∴∠ADF＝∠FDE， ∵∠ADF＝∠ABF， ∴∠ABF＝∠FBC， ∴BE是∠ABC的平分线， ∵＝， ∴∠ACD＝∠BFD， ∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°， ∴∠DCT＝∠BFD， ∴∠ACD＝∠DCT， ∴CE是△ABC的外角平分线， ∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角． （3）①如图2，连接CF， ∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角， ∴∠BAC＝2∠BEC， ∵∠BFC＝∠BAC， ∴∠BFC＝2∠BEC， ∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE， ∴∠BEC＝∠FCE， ∵∠FCE＝∠FAD， ∴∠BEC＝∠FAD， 又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD， ∴△FDE≌△FDA（AAS）， ∴DE＝DA， ∴∠AED＝∠DAE， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∴∠AED+∠DAE＝90°， ∴∠AED＝∠DAE＝45°， ②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠FAC＝∠EBC＝∠ABC＝45°， ∵∠AED＝45°， ∴∠AED＝∠FAC， ∵∠FED＝∠FAD， ∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD， ∴∠AEG＝∠CAD， ∵∠EGA＝∠ADC＝90°， ∴△EGA∽△ADC， ∴， ∵在Rt△ABG中，AB＝8，∠ABG＝45°， ∴AG＝， 在Rt△ADE中，AE＝AD， ∴， ∴， 在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2， ∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2， ∴x＝， ∴ED＝AD＝， ∴CE＝CD+DE＝， ∵∠BEC＝∠FCE， ∴FC＝FE， ∵FM⊥CE， ∴EM＝CE＝， ∴DM＝DE﹣EM＝， ∵∠FDM＝45°， ∴FM＝DM＝， ∴S△DEF＝DE•FM＝． 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是线段BC上一点，以O为圆心，OC为半径作⊙O，AB与⊙O相切于点F，直线AO交⊙O于点E，D． （1）求证：AO是△CAB的角平分线； （2）若tan∠D＝，求的值； （3）如图2，在（2）条件下，连接CF交AD于点G，⊙O的半径为3，求CF的长． （1）证明：连接OF， ∵AB与⊙O相切于点F， ∴OF⊥AB， ∵∠ACB＝90°，OC＝OF， ∴∠OAF＝∠OAC， 即AO是△ABC的角平分线； （2）如图2，连接CE， ∵ED是⊙O的直径， ∴∠ECD＝90°， ∴∠ECO+∠OCD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠ECO＝90°， ∴∠ACE＝∠OCD， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC， ∴∠ACE＝∠ODC， ∵∠CAE＝∠CAE， ∴△ACE∽△ADC， ∴， ∵tan∠D＝， ∴， ∴； （3）由（2）可知：＝， ∴设AE＝x，AC＝2x， ∵△ACE∽△ADC， ∴， ∴AC2＝AE•AD， ∴（2x）2＝x（x+6）， 解得：x＝2或x＝0（不合题意，舍去）， ∴AE＝2，AC＝4， ∴AO＝AE+OE＝2+3＝5， 如图3，连接CF交AD于点G， ∵AC，AF是⊙O的切线， ∴AC＝AF，∠CAO＝∠OAF， ∴CF⊥AO， ∴∠ACO＝∠CGO＝90°， ∵∠COG＝∠AOC， ∴△CGO∽△ACO， ∴， ∴OC2＝OG•OA， ∴OG＝， ∴CG＝＝＝， ∴CF＝2CG＝． 3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）求证：△PBD∽△DCA； （3）当AB＝2，AC＝4时，直接写出线段PB的长． 解：（1）连接OD