专题08 圆中的长度计算-2021年中考数学分类专题突破

专题08 圆中的长度计算 1．如图所示，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，弦BC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，连AD． （1）求直径AB的长． （2）求阴影部分的面积（结果保留π）． 解：（1）∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠B＝30°， ∴AB＝2AC， ∵AB2＝AC2+BC2， ∴AB2＝AB2+62， ∴AB＝4． （2）连接OD． ∵AB＝4， ∴OA＝OD＝2， ∵CD平分∠ACB，∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝45°， ∴∠AOD＝2∠ACD＝90°， ∴S△AOD＝OA•OD＝•2•2＝6， ∴S扇形△AOD＝•π•OD2＝•π•（2）2＝3π， ∴阴影部分的面积＝S扇形△AOD﹣S△AOD＝3π﹣6． 2．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，CD切⊙O于点C，AE⊥CD于点E （1）求证：AC平分∠DAE； （2）若AB＝6，BD＝2，求CE的长． （1）证明：连接OC． ∵CD是⊙O的切线， ∴∠OCD＝90°， ∵∠AEC＝90°， ∴∠OCD＝∠AEC， ∴AE∥OC， ∴∠EAC＝∠ACO， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠EAC＝∠OAC， ∴AC平分∠DAE． （2）作CF⊥AB于F． 在Rt△OCD中，∵OC＝3，OD＝5， ∴CD＝4， ∵•OC•CD＝•OD•CF， ∴CF＝， ∵AC平分∠DAE，CE⊥AE，CF⊥AD， ∴CE＝CF＝． 3．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且DE＝CE，⊙O的切线BF与弦AD的延长线交于点F． （1）求证：CD∥BF； （2）若⊙O的半径为6，∠A＝35°，求的长． （1）证明：∵AB是⊙O的直径，DE＝CE， ∴AB⊥CD， ∵BF是⊙O的切线， ∴AB⊥BF， ∴CD∥BF； （2）解：连接OD、OC， ∵∠A＝35°， ∴∠BOD＝2∠A＝70°， ∴∠COD＝2∠BOD＝140°， ∴的长＝＝． 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是边AC上一点，以O为圆心，以OA为半径的圆分别交AB、AC于点E、D，在BC的延长线上取点F，使得BF＝EF． （1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若∠A＝30°，求证：DG＝DA； （3）若∠A＝30°，且图中阴影部分的面积等于2，求⊙O的半径的长． 解：（1）连接OE， ∵OA＝OE， ∴∠A＝∠AEO， ∵BF＝EF， ∴∠B＝∠BEF， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠AEO+∠BEF＝90°， ∴∠OEG＝90°， ∴EF是⊙O的切线； （2）∵∠AED＝90°，∠A＝30°， ∴ED＝AD， ∵∠A+∠B＝90°， ∴∠B＝∠BEF＝60°， ∵∠BEF+∠DEG＝90°， ∴∠DEG＝30°， ∵∠ADE+∠A＝90°， ∴∠ADE＝60°， ∵∠ADE＝∠EGD+∠DEG， ∴∠DGE＝30°， ∴∠DEG＝∠DGE， ∴DG＝DE， ∴DG＝DA； （3）∵AD是⊙O的直径， ∴∠AED＝90°， ∵∠A＝30°， ∴∠EOD＝60°， ∴∠EGO＝30°， ∵阴影部分的面积＝×r×r﹣＝2﹣π． 解得：r2＝4，即r＝2， 即⊙O的半径的长为2． 5．如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E． （1）求证：AB＝AC； （2）求证：DE为⊙O的切线． 证明：（1）连接AD； ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°． 又∵DC＝BD， ∴AD是BC的中垂线． ∴AB＝AC． （2）连接OD； ∵OA＝OB，CD＝BD， ∴OD∥AC． ∴∠0DE＝∠CED． 又∵DE⊥AC， ∴∠CED＝90°． ∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE． ∴DE是⊙O的切线． 6．如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）求DE的长． 证明：（1）连接OD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAE＝∠DAB， ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO， ∴∠ODA＝∠DAE， ∴OD∥AE， ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O切线． （2）过点O作OF⊥AC于点F， ∴AF＝CF＝3， ∴OF＝＝4． ∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°， ∴四边形OFED是矩形， ∴DE＝OF＝4． 7．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E． （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）若BD的弦心距OF＝1，∠ABD＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π） （1）证明：连接OD， ∵BC是⊙O的切线，