专题07 圆的切线证明-2021年中考数学分类专题突破

专题07 圆的切线证明 1．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任意一点（不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M． （1）求∠APC和∠BPC的度数试； （2）探究PA、PB、PM之间的关系； （3）若PA＝1，PB＝2，求四边形PBCM的面积． 解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°， ∵，， ∴∠APC＝∠ABC＝60°，∠BPC＝∠BAC＝60°； （2）∵CM∥BP， ∴∠BPM+∠M＝180°，∠PCM＝∠BPC＝60°， ∴∠M＝180°﹣∠BPM＝180°﹣（∠APC+∠BPC）＝180°﹣120°＝60°， ∴∠M＝∠BPC＝60°， ∴∠PCM﹣∠PCA＝∠ACB﹣∠PCA，即∠ACM＝∠BCP， 又∵BC＝AC， ∴△ACM≌△BCP（AAS）， ∴AM＝BP， ∵PM＝PA+AM， ∴PM＝PA+PB； （3）∵△ACM≌△BCP， ∴CM＝CP， 又∵∠M＝60°， ∴△PCM为等边三角形， ∴CM＝CP＝PM＝1+2＝3， 如图，过点P作PH⊥CM于H， 在Rt△PMH中，∠MPH＝30°， ∴PH＝， ∴S梯形PBCM＝（PB+CM）×PH＝（2+3）×＝． 2．如图所示，线段AC是⊙O的直径，过A点作直线BF交⊙O于A、B两点，过A点作∠FAC的角平分线交⊙O于D，过D作AF的垂线交AF于E． （1）证明DE是⊙O的切线； （2）证明AD2＝2AE•OA； （3）若⊙O的直径为10，DE+AE＝4，求AB． （1）证明：连接OD， ∴DE为⊙O切线； （2）证明：连接CD． ∵AC为⊙O的直径，DE⊥AF ∴∠ADC＝90°，∠DEA＝90°， ∴∠ADC＝∠AED， ∴在△ACD和△ADE中，∠DAC＝∠EAD，∠ADC＝∠AED， ∴△ACD∽△ADE， ∴． ∴AD2＝AE•AC． ∵AC＝2OA， ∴AD2＝2AE•OA； （3）解：过点O作OM⊥AB于点M，则四边形ODEM为矩形，设DE＝OM＝x，则AE＝4﹣x， ∴AM＝5﹣（4﹣x）＝1+x， 在Rt△AMO中，OA2＝AM2+OM2，即：（1+x）2+x2＝52 解得：x1＝3，x2＝﹣4（舍去）． ∴AM＝4． ∵OM⊥AB，由垂径定理得：AB＝2AM＝8． 3．如图1，△ABC内接于⊙O，过C作射线CP与BA的延长线交于点P，∠B＝∠ACP． （1）求证：CP是⊙O的切线； （2）若PC＝4，PA＝2，求AB的长； （3）如图2，D是BC的中点，PD与AC交于点E，求证：． （1）证明：如图1，连结OA、OC，则OA＝OC． ∴∠OAC＝∠OCA． ∴∠AOC+2∠OCA＝180°． 由圆周角定理，得∠AOC＝2∠B． ∴2∠B+2∠OCA＝180°． ∴∠B+∠OCA＝90°． ∵∠B＝∠ACP． ∴∠ACP+∠OCA＝90°，即∠OCP＝90°． ∴CP是⊙O的切线； （2）∵∠B＝∠ACP，∠ACP＝∠CPB， ∴△APC∽△CPB． ∴＝， ∴PB＝＝＝8． ∴AB＝PB﹣PA＝8﹣2＝6； （3）如图2，延长ED至F，使DF＝ED，连结BF， 易得△BDF≌△CDE， ∴BF＝CE，∠CED＝∠F． ∴BF∥EC， ∴＝＝． 由（2）得，PB＝， ∴＝， ∴． 4．定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．如矩形OBCD中，点C为O，B两点的勾股点，已知OD＝4，在DC上取点E，DE＝8． （1）如果点E是O，B两点的勾股点（点E不在点C），试求OB的长； （2）如果OB＝12，分别以OB，OD为坐标轴建立如图2的直角坐标系，在x轴上取点F（5，0）．在线段DC上取点P，过点P的直线l∥y轴，交x轴于点Q．设DP＝t． ①当点P在DE之间，以EF为直径的圆与直线l相切，试求t的值； ②当直线l上恰好有2点是E，F两点的勾股点时，试求相应t的取值范围． 解：（1）如图1，连接OE，BE， 若点E是O，B两点的勾股点， 则∠OEB＝90°， ∴∠OED+∠CEB＝90°， ∵∠OED+∠DOE＝90°， ∴∠DOE＝∠CEB， 又∵∠C＝∠ODE， ∴△BCE∽△EDO， ∴＝， 即＝， ∴CE＝2， ∴OB＝DE＝8+2＝10； （2）①如图2﹣1，设以EF为直径的圆的圆心为Q，与直线l的切点为M，直线l与OB的交点为H，连接QM， 则∠FME＝90°，QM⊥PH， ∴∠HMF+∠PME＝90°， ∵∠PME+∠PEM＝90°， ∴∠HMF＝∠PEM， 又∵∠MHF＝∠EPM＝90°， ∴△MHF∽△EPM， ∴＝， ∵QM⊥PH，l∥y轴， ∴HF∥MQ∥PE， ∴＝， ∵FQ＝QE， ∴HM＝MP＝2， 又